równanie

[szymek12]

Wykazać, że istnieje tylko jedna para \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb pierwszych, która spełnia równanie:
\(\displaystyle{ x^{2}-30y^{2}=1}\).

[limes123]

Z tej równości wynika, że x jest postaci \(\displaystyle{ 6k\pm 1}\) dla całkowitego k. Czyli
\(\displaystyle{ (6k\pm 1)^2=30y^2+1\iff 36k^2\pm 12k+1=30y^2+1}\) a z ostatniej równości wynika, że y jest liczbą parzystą, czyli y=2 a z tego wynika, że x=11 i jest to jedyna para l. pierwszych spełniających to równanie.

[szymek12]

Ala dlaczego \(\displaystyle{ x=6k+1}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=6k-1}\) dla całkowitego \(\displaystyle{ k}\)

[Sylwek]

Gdyż w innym wypadku lewa strona byłaby podzielna przez 2 lub przez 3, a prawa nie - sprzeczność.