Jak udowodnić podzielność?

[Grief]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania. Zaznaczę, że teoria liczb całkowicie nie przypadła mi do gustu

Udowodnij, że nie istnieją takie k i n; \(\displaystyle{ k, n \mathbb{N}}\), dla których liczba
\(\displaystyle{ \pm \frac{1}{k} \frac{1}{k+1} ... \frac{1}{k+n}}\)
jest całkowita.

[limes123]

Nie wprost.
Zał. że dla pewnych k i n jest całkowita, obustronnie przemnóż przez k(k+1)(k+2)*...*(k+n) i coś zauważ.

[MagdaW]

Z parzystością może?

[Grief]

@limes123
Jak przemnożyć obustronnie? Mam to do czegoś przyrównać, żeby pojawiła się druga strona?

[frej]

Grief, przyrównaj to do jakiegoś \(\displaystyle{ x \mathbb{Z}}\), tzn. załóż nie wprost, że jest to całkowite.

[limes123]

Założenie
\(\displaystyle{ \exists_{k,n\in Z} \frac{1}{k} \frac{1}{k+1} ... \frac{1}{k+n}=m}\), \(\displaystyle{ m\in Z}\).
Przemnażamy obustronnie przez ten iloczyn z mojego wcześniejszego posta i mamy
\(\displaystyle{ \pm (k+1)(k+2)\cdot ... (k+n)\pm k(k+2)\cdot ... (k+n)\pm ... k(k+1)\cdot ...(k+n-1)=m\cdot k(k+1)\cdot ... (k+n)}\). Teraz trzeba wykazać, że istnieje taka liczba pierwsza p, że w którymś z iloczynów po lewej stronie występuje ona w potędze mniejszej niż w pozostałych iloczynach.

[Grief]

Czyli trzeba po lewej stronie jakoś wymnożyć te iloczyny, żeby zlikwidować te wielokropki i sprawdzić potęgi k?

[limes123]

Temat trochę stary, ale postanowiłem odnowić, bo jednak zadanie nie takie proste. Niech A będzie zbiorem liczb {k,k+1,...,k+n}, oraz niech f(a) będzie wykładnikiem potęgi, w jakiej 2 występuje w a. Wykażę, że wśród liczb f(i) dla \(\displaystyle{ i\in A}\) istnieje liczba największa. Załóżmy, że tak nie jest. Oznacza to, że w zbiorze A istnieją dwie liczby, powiedzmy r i s (bez zmieniszania ogólności załóżmy, że s>r), takie, że f(r)=f(s). Mamy więc \(\displaystyle{ r=2^{f(r)}\cdot r'}\) oraz \(\displaystyle{ s=2^{f(s)}\cdot s'}\), gdzie liczby r' i s' są liczbami nieparzystymi, oraz
s'>r'. Weźmy liczbę \(\displaystyle{ t=r+2^{f(r)}}\). Mamy \(\displaystyle{ r}\), czyli t należy również do zbioru A oraz \(\displaystyle{ t=(r'+1)\cdot 2^{f(r)}}\), czyli f(t)>f(r)-sprzeczność. W zbiorze A istnieje więc liczba, dla której f przyjmuje najwyższą wartość. Teraz jest łatwo, bo wystarczy pomnożyć obustronnie przez NWW tych wszystkich liczb i później podzielić przez 2;]