Treść zadania jest taka:
znajdź wszystkie liczby naturalne, które nie dają się przedstawić w postaci sumy kilku (w domyśle co najmniej dwóch) kolejnych liczb naturalnych. Przedstawię mój pomysł na to zadanie i niech ktoś powie czy jest ok, bo nie jestem pewien.
Liczbą dobrą nazywajmy liczbę, która daje się przedstawić w postaci takiej sumy. Zauważmy, że wszystkie liczby nieparzyste są dobre. Jeśli liczba jest postaci \(\displaystyle{ 2k+1}\) dla pewnego naturalnego k, to takim przedstawieniem jest \(\displaystyle{ k+(k+1)}\). Teraz udowodnię, że jeżeli nieparzysta liczba m jest dobra, to dobre są również liczby postaci \(\displaystyle{ am}\) dla naturalnego a. Jeśli m jest postaci \(\displaystyle{ 2l+1}\) dla nat. l, to mamy:
\(\displaystyle{ m=2l+1=l+(l+1)}\)
\(\displaystyle{ 2m=(l-1)+l+(l+1)+(l+2)}\)
\(\displaystyle{ 3m=(l-2)+(l-1)+...+(l+3)}\) itd...
I taką operację możemy wykonywać, aż pierwsza liczba w sumie po prawej stronie będzie zerem. Załóżmy, że dzieje się tak pewnego b. Mamy wtedy
\(\displaystyle{ b\cdot m=0+1+2+...+(l+b)}\) i dla (b-1) mamy \(\displaystyle{ (b-1)\cdot m=1+2+...+(l+b-1)}\), czyli \(\displaystyle{ m=b\cdot m-(b-1)\cdot m=(1+2+...(l+b))-(1+2+3+...+(l+b-1))=l+b}\), czyli w ostatniej operacji, którą możemy wykonać, ostatnim składnikiem naszej sumy będzie liczba m. Wtedy dla (b+1)m możemy zrobić coś takiego
\(\displaystyle{ (b+1)m=1+2+3+...+m+m}\) (zgodnie z tym co wcześniej wykazałem), czyli \(\displaystyle{ (b+1)m=2+3+...+m+(m+1)}\) i możemy tak robić (czyli przenosić pierwszy składnik sumy na koniec) dla b+2, b+3 itd otrzymując sumy kolejnych liczb naturalnych. Wynika z tego, że wszystkie niedobre liczby są postaci \(\displaystyle{ 2^n}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 0}\) i \(\displaystyle{ n\in Z}\). Taki dowód jest ok?
Sumy liczb - wątpliwość
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Sumy liczb - wątpliwość
Udowodniłeś że każda liczba która ma w rozkładzie na czynniki pierwsze liczbę nieparzystą jest dobra..
Do końca dowodu należałoby jeszcze udowodnić, że żadnej z liczb postaci \(\displaystyle{ 2^{n}}\) nie da się przedstawić w postaci sumy kilku liczb naturalnych Wtedy dowód jest kompletny
Do końca dowodu należałoby jeszcze udowodnić, że żadnej z liczb postaci \(\displaystyle{ 2^{n}}\) nie da się przedstawić w postaci sumy kilku liczb naturalnych Wtedy dowód jest kompletny