Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: MagdaW »

1. Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ p ^{2}-6q ^{2}=1}\)
2. Znajdź taką liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), że liczby \(\displaystyle{ p+2}\) i \(\displaystyle{ p ^{2}+2p+4}\) także są pierwsze.
3. Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których liczby:
a) \(\displaystyle{ n ^{4}+ 4}\)
b) \(\displaystyle{ 4n ^{4}+1}\)
są pierwsze.
4. Wyznaczyć wszystkie trójki licb pierwszych \(\displaystyle{ p, q, r}\) takich, że \(\displaystyle{ 19p-qr=1995}\)
5. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), dla których \(\displaystyle{ p ^{p+1}+2}\) jest liczbą pierwszą.
6. Wznacz wszystkie liczby całkowite a i b tak, by \(\displaystyle{ a ^{4}+4b ^{4}}\) była liczbą pierwszą.
7. Znajdź liczby pierwsze \(\displaystyle{ p, q, r}\) takie, że \(\displaystyle{ p+q+r=pq+1}\)

Życzę miłego rozwiązywania.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: Wasilewski »

6)
\(\displaystyle{ a^4 + 4b^4 = (a^2 - 2ab + 2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2)}\)
Czyli jedna z liczb musi być jedynką (mniejsza, czyli pierwsza):
\(\displaystyle{ a^2 - 2ab + 2b^2 = 1 \\
(a-b)^2 + b^2 = 1 \\
\begin{cases} b=0 \\ a=1 \end{cases} \begin{cases} b=1 \\ a=1 \end{cases}}\)

Zgadza się tylko w drugim przypadku, zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=1 \end{cases}}\)
7)
\(\displaystyle{ p + q - pq - 1 = -r \\
p-1 - q(p-1) = -r \\
(p-1)(1-q) = -r \\
(p-1)(q-1) = r}\)

I znów jedna z liczb musi być jedynką (na przykład drugi nawias):
\(\displaystyle{ q = 2 \\
p-1 = r}\)

Mamy więc 2 kolejne liczby pierwsze, zatem jedyna możliwość to 2 i 3. Czyli odpowiedzi to:
\(\displaystyle{ r=2 ((q=2 p=3) (q=3 p =2))}\)
3)
\(\displaystyle{ n^4 +4 = (n^2 -2n + 2)(n^2 + 2n +2) \\
4n^4 +1 = (2n^2 + 2n+1)(2n^2 - 2n+1)}\)

Czyli dokładnie to samo, co w 6).
frej

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: frej »

3.
a) sprawdź kolejne reszty \(\displaystyle{ (mod 5)}\) ( Odp. 1)
b) tutaj też rozważ to równanie \(\displaystyle{ (mod 5)}\) (Odp. 1)

2. Zauważmy, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\)

\(\displaystyle{ p \geqslant 3}\)
\(\displaystyle{ p=3 \quad p+2=5 \quad p^2+2p+4=9+6+4=19}\) dobrze
\(\displaystyle{ p \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow p+2 \equiv 0 (mod 3) \wedge p+2>3}\) źle
\(\displaystyle{ p \equiv 2 \Rightarrow p^2+2p+4 \equiv 1+1+1 \equiv 0(mod 3) \wedge p^2+2p+4>3}\) źle

czyli tylko trójka ;)

4. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 19|1995}\) wobec tego iloczyn liczb pierwszych \(\displaystyle{ 19|qr}\). Ponieważ są to liczby pierwsze, zatem jedna z tych liczb wynosi \(\displaystyle{ 19}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ q=19}\). Mamy więc tak:
\(\displaystyle{ p-r=105}\)
Gdyby obie te liczby były nieparzyste, to \(\displaystyle{ 105}\) byłoby parzyste. Wobec tego \(\displaystyle{ r=2}\), bo są to liczby dodatnie. Mamy więc rozwiązania:
\(\displaystyle{ (107,2,19) \wedge (107,19,2)}\)

5. \(\displaystyle{ p=2}\) źle. \(\displaystyle{ p=3}\) dobrze. Teraz \(\displaystyle{ p}\) liczba nieparzysta większą od trzech.
\(\displaystyle{ p \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow p^{(p+1)}+2 \equiv 1+2 \equiv 0 (mod) \wedge p^{(p+1)}>3}\)
\(\displaystyle{ p \equiv 2 (mod 3) \quad p^{(p+1)}+2=p^{2k}+2 \equiv (-1)^{2k}+2 \equiv 1+2 \equiv 0(mod 3) \wedge p^{(p+1)}+2 >3}\)
tyle.
Ostatnio zmieniony 8 lip 2008, o 15:06 przez frej, łącznie zmieniany 5 razy.
MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: MagdaW »

3.
Ja zrobiłam to tak:
a)\(\displaystyle{ n ^{4} +4=n ^{4}+4+4n ^{2}-4n ^{2}=(n ^{2}+2) ^{2}-(2n) ^{2}=(n ^{2}+2-2n)(n ^{2}+2+2n)}\)
b)\(\displaystyle{ 4n ^{4}+1=(2n ^{2}+1-2n)(2n ^{2}+1+2n)}\)

Twój sposób jest jednak sprytniejszy i jak najbardziej poprawny.

[ Dodano: 8 Lipca 2008, 15:03 ]
frej, w zadaniu 4) powinno być 107 w obu przypadkach.
frej

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: frej »

ok, jasne. już poprawiam.
MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: MagdaW »

Czyli zostało już tylko zadanie 1.
frej

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: frej »

\(\displaystyle{ p>2}\), więc jest to liczba nieparzysta.
\(\displaystyle{ p^2-1=6q^2}\)
\(\displaystyle{ (p-1)(p+1)=2\cdot 3 q q}\)
lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), bo jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych. Prawa jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2 q^2}\), zatem \(\displaystyle{ q}\) musi być parzyste i zarazem liczbą pierwszą. Zatem jedynym rozwiązaniem jest para liczb \(\displaystyle{ (5,2)}\). Koniec zadań.

PS
skąd wzięłaś te zadania?
MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: MagdaW »

Zadania z kilku źródeł:
1. "Liga zadaniowa XX lat- Zadania wybrane"
2. "Konkurs matematyczny w gimnazjum- przygotuj się sam"
3. Jakieś koło olimpijskie, zadania dostępne w Internecie. Mogę przesłać Ci jakiś link, jeżeli chcesz.
frej

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: frej »

Ok, jeśli chcesz, to możesz mi przesłać. Tak myślałem, że to są zadania z jakichś gimnazjalnych zawodów czy książek.
MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

Kilka zadań o liczbach pierwszych.

Post autor: MagdaW »



[url=http://wm.staszic.waw.pl/]Klik[/url]
[url=http://www-users.mat.uni.torun.pl/~kolka/]Klik[/url]
[url=http://leon.mat.umk.pl:8888/kangur/liga/]Klik[/url]


Proszę, może się komuś przydadzą...

[ Dodano: 8 Lipca 2008, 15:38 ]
A tak propo to po wakacjach będę w II gimnazjum, więc zadania na średnim poziomie. Ale obiecuję poprawę (trudniejsze zadanka).
ODPOWIEDZ