Wiedząc, że \(\displaystyle{ a,b,c>0 x\leq ab+\frac{c}{a}}\), wykaż że:
\(\displaystyle{ x\leq 2\sqrt{bc}}\).
Czy dobrym pomysłem jest wyjście od tego, że \(\displaystyle{ (ab-c)^{2}\geq 0}\) ?
Z tego mam, że \(\displaystyle{ ab+c\geq 2\sqrt{abc}}\).
Co dalej?
Nierówność
-
frej
Nierówność
wiesz co to jest nierówność między średnimi?
średnia arytmetyczna liczb dodatnich jest większą niż średnia geometryczna tych samych liczb dodatnich.
Zatem korzystając z tego mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ab+\frac{c}{a}}{2} q \sqrt{ab\cdot \frac{c}{a}}=\sqrt{bc}}\)
Chyba powinno być na odwrót, tzn. że jeżeli \(\displaystyle{ x\leq 2\sqrt{bc}}\) to \(\displaystyle{ x\leq ab+\frac{c}{a}}\)...
a oto kontrprzykład:
\(\displaystyle{ ab=1 \quad \frac{c}{a}=16}\)
\(\displaystyle{ ab+\frac{c}{a}=17}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{bc}=2\sqrt{ab\cdot \frac{c}{a}}=2\sqrt{16}=8}\)
np. \(\displaystyle{ x=10}\) i to nie spełnia warunków zadania...
średnia arytmetyczna liczb dodatnich jest większą niż średnia geometryczna tych samych liczb dodatnich.
Zatem korzystając z tego mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ab+\frac{c}{a}}{2} q \sqrt{ab\cdot \frac{c}{a}}=\sqrt{bc}}\)
Chyba powinno być na odwrót, tzn. że jeżeli \(\displaystyle{ x\leq 2\sqrt{bc}}\) to \(\displaystyle{ x\leq ab+\frac{c}{a}}\)...
a oto kontrprzykład:
\(\displaystyle{ ab=1 \quad \frac{c}{a}=16}\)
\(\displaystyle{ ab+\frac{c}{a}=17}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{bc}=2\sqrt{ab\cdot \frac{c}{a}}=2\sqrt{16}=8}\)
np. \(\displaystyle{ x=10}\) i to nie spełnia warunków zadania...