Udowodnij że liczba jest liczbą niewymierną

[Brzezin]

Udowodnij że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}\) jest liczbą niewymierną.
Pozdrawiam Maks

[MagdaW]

Zauważ, że suma liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną.
Trzeba więc udowodnić, że składniki są liczbami niewymiernymi.
Załóżmy, że liczba\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)jest wymierna. Wówczas( ułamek jest nieskracalny)\(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{p}{q} 2q ^{2}=p ^{2}}\) Wtedy \(\displaystyle{ p ^{2}}\)musi być kwadratem liczby parzystej, czyli mieć postać 4a. Zauważamy, że wtedy również q musi być parzyste, zatem ułamek p/q jest skracalny, co przeczy założeniu. W podobny sposób wygląda dowód dla liczb pozostałych.

[Lorek]

Zauważ, że suma liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną.

\(\displaystyle{ a=2\sqrt{2},\; b=23-\sqrt{8},\; a+b=?}\)

[Qń]

Zauważ, że suma liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną.

Nie, na przykład suma liczb niewymiernych \(\displaystyle{ 2-\pi}\) oraz \(\displaystyle{ 2 + \pi}\) jest wymierna.

A dowód można przeprowadzić na przykład tak: załóżmy przeciwnie, tzn.
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} =q}\) dla \(\displaystyle{ q \mathbb{Q}}\)
Wtedy kolejno:
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(q-\sqrt{2})^2 \\
8+2\sqrt{15}=q^2+2-2\sqrt{2} \\
(2\sqrt{15}+2\sqrt{2})^2=(q^2-6)^2 \\
68+8\sqrt{30}=(q^2-6)^2 \\
\sqrt{30}=\frac{(q^2-6)^2-68}{8}}\)
co oznacza, że \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\) jest wymierna.

To znaczy, że dla pewnych względnie pierwszych \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}}\) jest:
\(\displaystyle{ \sqrt{30}=\frac{a}{b}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 30b^2=a^2}\)
Ale lewa strona jest podzielna przez dwa, więc i prawa musi przez dwa. Czyli \(\displaystyle{ a}\) jest parzyste, ale w takim razie prawa strona jest podzielna przez cztery, więc i lewa musi. Więc i \(\displaystyle{ b}\) jest parzyste, a zatem sprzeczność, bo to miały to być liczby względnie pierwsze.

Q.

[MagdaW]

W takim razie przepraszam, o tej godzinie już nie myślę...

[Brzezin]

@Qń: popełniłeś błąd w kroku 2-gim a mianowicie nie \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\) tylko \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} q}\) Będzie tutaj problem aby pozbyć się pierwiastka przy \(\displaystyle{ 2ab}\). Jakieś inne pomysły?

[Sylwek]

Próbowałeś chociaż sam to dokończyć... ?
\(\displaystyle{ 8+2\sqrt{15}=q^2-2\sqrt{2}q+2 \\ 2\sqrt{15}+2\sqrt{2}q=q^2-6 \\ 60+8q\sqrt{30}+8q^2=(q^2-6)^2 \\ \sqrt{30}=\frac{(q^2-6)^2-60-8q^2}{8q}}\)
Otrzymujemy sprzeczny wniosek, że \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\) jest wymierna, więc \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \not\in \mathbb{Q}}\).

[Qń]

@Qń: popełniłeś błąd

Owszem...

Będzie tutaj problem aby pozbyć się pierwiastka przy \(\displaystyle{ 2ab}\).

...ale jeśli masz problem z usunięciem tak prostej luki, to to chyba za trudne zadanie dla Ciebie .

Q.

[Brzezin]

Hehe, myślałem o czymś innym - tzn. o usunięciu q tylko z jednej strony, a tu trzeba sprytnie przenieść
Zrobiłem sam \(\displaystyle{ \sqrt{2} +\sqrt[4]{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2} +\sqrt[3]{3}}\)
a co będzie z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}}\)?

[Sylwek]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}=q \\ 2+3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{5}(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})+5=q^3 \\ \sqrt[3]{10}=\frac{q^3-7}{3q}}\)
\(\displaystyle{ q \mathbb{Q} \ \sqrt[3]{10} \mathbb{Q}}\) - sprzeczność, zatem \(\displaystyle{ q \not\in \mathbb{Q}}\)