Równania z częścią całkowitą

[neworder]

1. \(\displaystyle{ [x]+\frac{1}{[x]}=\{x\}+\frac{1}{\{x\}}}\)
2. tg[x]*tg{x}=1.
Odpowiedzi znam, nie znam rozwiązań.

[marian]

nie wiem czy rozumiem zadanie ale wynika z tego ze \(\displaystyle{ [x]+\{x\}=90}\)
\(\displaystyle{ [x]=90-\{x\}}\)
\(\displaystyle{ \{x\}=90-[x]}\)

Przeprawiłem wszystko, żeby było jak trzeba. Liu

[liu]

A okres?

No i pewnie szukamy liczby, czyli x a nie [x] i {x}

[g]

drugie jest chyba troche proste...
\(\displaystyle{ \tan [x] \tan \{ x \} = 1}\)
\(\displaystyle{ \tan [x] = \cot \{ x \}}\)
\(\displaystyle{ \tan [x] = \tan ft( { \pi \over 2} - \{ x \} } \right)}\)
\(\displaystyle{ [x] = k\pi + {\pi \over 2} - \{ x \} , k \mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ x = k\pi + {\pi \over 2}, k \mathbb{Z}}\)

[neworder]

Faktycznie, przeoczyłem tę okresowość. Jeszcze jedno równanko: rozwiązać w liczbach pierwszych (x,y pierwsze) równanie\(\displaystyle{ 1+sqrt{[2]}+sqrt{[3]}+...+sqrt{[x^{2}-1]}=y}\)

[g]

nie wiem czy zdajesz sobie sprawe z tego, ze lewa strona 3ciego jest niewymierna...

[_el_doopa]

\(\displaystyle{ c^2m+m=m^2c+c}\)
\(\displaystyle{ (cm-1)(c-m)=0}\)
cecha mantysie byc rowna nie moze bo \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ cm=1}\)
a zatem \(\displaystyle{ x=t+{1 \over t}}\) dla t calkowitegotakiego ze \(\displaystyle{ |t|>1}\)

c to cecha m to mantysa

[edit] no tak tak mantysa jest dodatnia czyli poporostu t>1

[g]

no i pierwsze:
zalozenia - x niecalkowite z wiadomych przyczyn.
\(\displaystyle{ [x] + {1 \over [x]} = \{ x \} + {1 \over \{ x \} }}\)
\(\displaystyle{ [x] - \{ x \} = {1 \over \{ x \} } - {1 \over [x]}}\)
\(\displaystyle{ x - 2 \{ x \} = {x - 2 \{ x \} \over [x] \{ x \} }}\)
przypadek pierwszy: \(\displaystyle{ x = 2 \{ x \}}\)
\(\displaystyle{ x in [0, 2)}\)
niech \(\displaystyle{ x in [0,1)}\) na poczatek. wtedy \(\displaystyle{ x = \{ x \}}\), zatem musialoby byc \(\displaystyle{ x=0}\) - sprzecznosc z zalozeniami
teraz niech \(\displaystyle{ x in [1,2)}\). wtedy \(\displaystyle{ x = 1 + \{ x \}}\). ale wtedy \(\displaystyle{ \{ x \} = 1}\) - sprzecznosc.
przypadek drugi - \(\displaystyle{ x \neq 2 \{ x \}}\). no to mamy
\(\displaystyle{ [x] \{ x \} = 1}\)
\(\displaystyle{ x}\) musi byc dodatnie, bo jesli by tak nie bylo to \(\displaystyle{ [x]}\) bylaby mniejsza od zera, a mantysa wieksza.
naturalnie \(\displaystyle{ [x] = n \in \mathbb{N}}\), zatem \(\displaystyle{ \{ x \} = {1 \over n}}\). czyli kazda liczba \(\displaystyle{ x}\) postaci \(\displaystyle{ n + {1 \over n} , n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 ,1 \}}\) spelnia to rownanie.

[edit]no coz, spoznilem sie. ale ty masz zle

[neworder]

Poprawiłem tamto z pierwiastkami

[g]

predzej \(\displaystyle{ 1 + [\sqrt{2}] + ... + [\sqrt{x^2-1}] = y}\)...
zauwazmy ze to wyglada tak:
1+1+1 + 2+2+2+2+2 + 3+3+3+3+3+3+3 + 4+... = 3*1 + 5*2 + 7*3 + ...
no a to jest ogolnie rowne \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{x-1} n(2n+1)}\). dlaczego akurat takie wyrazenie pod suma? miedzy innymi dlatego, ze \(\displaystyle{ (n+1)^2 - n^2 = 2n+1}\). reszte uzasadnij sobie i przelicz sam. teraz juz banalne.