Sprawdzić ze dla dowolnej liczby całkowitej n
\(\displaystyle{ n^7\equiv n \mod{42}}\)
Co z tym zrobić
Kongruencja mod 42
-
grzegorzu78
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 20 gru 2007, o 23:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
Kongruencja mod 42
Ostatnio zmieniony 18 cze 2008, o 23:01 przez grzegorzu78, łącznie zmieniany 3 razy.
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Kongruencja mod 42
Zazuwazmy, ze:
\(\displaystyle{ 42=2\cdot 3\cdot 7}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ n^7\equiv n \mod{42} \iff n^7-n\equiv 0 \mod{42}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ n^7-n=(n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)}\)
Podzielnosc \(\displaystyle{ 2|n^7-n}\) oraz \(\displaystyle{ 3|n^7-n}\) dostajemy za darmo...
Co do podzielnosci przez 7.
Na mocy Małego Twierdzenie Fermata, dostajemy:
\(\displaystyle{ n^7\equiv n \mod{7}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 42|n^7-n}\)
\(\displaystyle{ 42=2\cdot 3\cdot 7}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ n^7\equiv n \mod{42} \iff n^7-n\equiv 0 \mod{42}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ n^7-n=(n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)}\)
Podzielnosc \(\displaystyle{ 2|n^7-n}\) oraz \(\displaystyle{ 3|n^7-n}\) dostajemy za darmo...
Co do podzielnosci przez 7.
Na mocy Małego Twierdzenie Fermata, dostajemy:
\(\displaystyle{ n^7\equiv n \mod{7}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 42|n^7-n}\)