Zadanka z Pawłowskiego - część całkowita

[neworder]

1. Wykazać, że \(\displaystyle{ [(5+\sqrt{19})^{n}]}\) jest nieparzyste dla każdego n.
2. Wykazać, że dla każdego naturalnego n i rzeczywistego x równanie (n+1)x-[nx]=a ma dokładnie n+1 pierwiastków.

[juzef]

W pierwszym wystarczy chyba udowodnić, że \(\displaystyle{ (5+\sqrt{19})^n+(5-\sqrt{19})^n}\) jest parzyste.

[neworder]

Dlaczego?

[g]

a ten ciag jest z kolei rozwiazaniem rekurencji \(\displaystyle{ a_0 = 2, a_1 = 10 , a_{n+2} = 10a_{n+1} - 6a_n}\) (dlaczego?). no i teraz chyba widac ze jest parzyste.

[edit]

Dlaczego?

no bo \(\displaystyle{ (5+\sqrt{19})^n = [(5 + \sqrt{19})^n] + _n}\). wiadomo, ze \(\displaystyle{ \alpha_n (0,1)}\). a z kolei \(\displaystyle{ (5 + \sqrt{19})^n + (5 - \sqrt{19})^n \mathbb{Z}}\) (latwo sprawdzic). a \(\displaystyle{ (5 - \sqrt{19})^n (0,1)}\). czyli \(\displaystyle{ \alpha_n + (5 - \sqrt{19})^n = 1}\). a zatem \(\displaystyle{ (5 + \sqrt{19})^n + (5 - \sqrt{19})^n = [(5 + \sqrt{19})^n] + _n + (5 - \sqrt{19})^n = [(5 + \sqrt{19})^n] + 1}\). a zatem jak \(\displaystyle{ [(5 + \sqrt{19})^n]}\) ma byc \(\displaystyle{ \in 2\mathbb{Z}+1}\), to \(\displaystyle{ [(5 + \sqrt{19})^n]+1 2\mathbb{Z}}\)

[Tomasz Rużycki]

Ja bym troszkę inaczej uzasadnił tę parzystość

Wyrazy tej sumy po rozwinięciu tych dwumianów zawierające \(\displaystyle{ \sqrt{19}}\) w nieparzystej potędze się wzajemnie zniosą, a reszta się podwoi - ta suma jest parzysta:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[g]

a jak chodzi o drugie to masz \(\displaystyle{ x + \{ nx \} = a}\), wykres sobie chyba nietrudno wyobrazic, uzasadnic dlaczego on jest taki a nie inny tez latwo, a reszte to juz z niego odczytac.