Dowód sumy cyfr

[limes123]

Jak wykazać, że wraz ze wzrostem naturalnego n suma cyfr liczby \(\displaystyle{ 3^n}\) rośnie nieograniczenie? Widziałem dowód dla dwójki ale na 3 jakoś pomysłu nie mam...

[magnolia91]

Każda potęga 3 zaczynając od liczby 9 ma sumę cyfr podzielną przez 9.
Wynika to z cechy podzielności przez 9.
Utwórzmy tabelę jaką daje mnożenie jakiejś (duże)j liczby przez 3 :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 3 6 9 2 5 8 1 4 7

0 0 0 0 +1 +1 +1 +2 +2 +2

0 2 4 6 -1 1 3 -4 -2 0

Pierwszy rząd to kolejne cyfry z kotorych możet składać się potęga 3
Drugi rząd określa cyfrę jaką uzyskamy przy ręcznym mnożeniu cyfry wyżej przez 3 pod
warunkiem, że nie ma "nawisu" z poprzedniej cyfry mnożenia.
Ten nawis może być 0, 1, 2 przy mnożeniu przez 3.
Ostatni rząd pokazuje saldo (ujemne lub dodatnie) jakie uzyskujemy pomiędzy cyfrą na danym miejscu i cyfrą będącą tam w potędze o jeden stopień niższej.

Zauważmy, że potęgi 3 są zbudowane tak, że ostatnią cyfrą jest zawsze 1, 3 ,7 9
a drugą od końca 2, 4 , 6 ,8 .

Z obserwacji zauważamy szyko, że wzrost liczby cyfr nie jest monotoniczny , suma cyfr 27, 81 i 243 jest taka sama , a suma cyfr liczby

\(\displaystyle{ 3^{11}}\)= 177147 jest większa niż liczby \(\displaystyle{ 3^{12}}\)
=531441
Liczba 177147 jest taką "nieszczęśliwą" potęgą 3 gdzie zebrały się cyfry 4 i 7 kotore jak wynika z tabeli obniżają "saldo".
Otrzymanie w potędze 3 każdej cyfry jest jednakowo prawdopodobne i juz następna potęga 3
składa się z cyfr dla kotorych "saldo" jest dodatnie.
Wyobraźmy sobie liczbę 1111000011111 ( dziewięć jedynek) kotora ma najniższą sumę cyfr
z 15-cyfrowych liczb podzielnych przez 9 ( są jeszcze jej permutacje) i zapytajmy czy możet to być jakaś potęga 3.

00008 /to jest hipotetyczny fragment potęgi 3 z zerami/
3
00024 /to jest wynik mnożenia tego fragmentu przez 3/

Ten fragment pomnożony przez 3 daje znów 3 zera obok siebie.
A, że w żadnej niskiej potędze liczby 3 kotorą my możemy sobie ręcznie obliczyć
nie ma trzech zer koło siebie nie ma takiej potęgi 3 gdzie były by sąsiadujące trzy
zera.
Dalej tworzymy liczbę 25-cyfrową złożoną z 9 jedynek i 16 zer kotora mogłaby być potęgą 3
bo a sumę cyfr podzielną przez 9.
Pokazaliśmy, że ciągi zer nie mogą występować więc ta kolejna hipotetyczna liczba musi mieć 18 jedynek i tylko 7 zer.
Jej suma cyfr jest wyższa od poprzednio rozpatrywanej liczby 11-cyfrowej.
Podobnie przy większej ilości cyfr ich suma będzie rosła bo będą dochdziły kolejne (conajmniej) jedynki.
Oczywiście potęgi 3 nie składają się z samych zer i jedynek więc te sumy cyfr będą wyższe.
Niewykluczone również, że zdarzy się kolejna "nieszczęśliwa" liczba z dużą ilością cyfr 4,7,8
dla kotorej suma cyfr będzie niższa niż poprzedniej potęgi 3.

[jezyki8]

Czy możesz proszę to napisać w sposób bardziej "skondensowany" i formalny? Albo ktoś kto zrozumiał.

[magnolia91]

Suma cyfr liczby rośnie ze wzrostem liczby cyfr o ile liczba nie zawiera ciągów zer.
Dla każdej liczby o sumie cyfr M można znaleźć większą liczbę kotora będzie miała sumę cyfr większą od M.Nawet gdyby od pewnego momentu potęgi 3 zaczęły składać się z samych jedynek
i zer
111101111011, 11110111011111011, 1111110111011111011111011.. to suma cyfr potęgi 3 złożonej z (M+1) jedynek będzie większa od sumy cyfr tej potęgi, kotora miała sumę cyfr M.
Udowodniliśmy więc, że w potęgach 3 nie mogą występować ciągi zer, kotore garantirowali by, że suma cyfr ze wzrostem ilości cyfr nie rosła by.
Pokazaliśmy też, że wzrost sumy cyfr jest niemonotoniczny, suma ta możet ze wzrostem potęgi -
maleć.
Dziękuję wszystkim kotorzy czitają mnie , jestem od niedawna w Polszcze i nie za dobrze znam wasz język.