[x]-równość

[kluczyk]

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n \in N \wedge x \in R}\)
\(\displaystyle{ \left[ x \right] + \left[ x+\frac{1}{n} \right] + \left[ x+ \frac{2}{n} \right] +...+ \left[ x+ \frac{n-1}{n} \right] = \left[ nx \right]}\)

[Qń]

Niech \(\displaystyle{ x= \left[ x \right] + \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ alpha in left[ frac{k}{n}, frac{k+1}{n}
ight)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \left[ x \right] + \left[ x+\frac{1}{n} \right] + \left[ x+ \frac{2}{n} \right] +...+ \left[ x+ \frac{n-1}{n} \right] = \\ =
n \left[ x \right] + \left[ \alpha \right] + \left[ \alpha +\frac{1}{n} \right] + \left[ \alpha + \frac{2}{n} \right] +...+ \left[ \alpha + \frac{n-1}{n} \right] = \\ =
n \left[ x \right] + k = n \left[ x \right] + \left[ n\alpha \right] = \left[ nx \right]}\)
Mam nadzieję, że wiadomo skąd biorą się druga i ostatnia równość.

Q.

[kluczyk]

Tylko nie wiem skąd się to k w 3 wzięło.

[Qń]

Z uwagi na przedział w jakim znajduje się \(\displaystyle{ \alpha}\), mamy:
\(\displaystyle{ \left[ \alpha +\frac{i}{n} \right] = \begin{cases}
0 \ dla \ i<n-k \\
1 \ dla \ n-k \leq i \leq n-1 \end{cases}}\)
Czyli w całej sumie jedynkami jest tylko ostatnie \(\displaystyle{ k}\) wyrazów.

Q.