Wykaż, że dla każdej liczby rzzeczywistej...

[bziuta]

Wykaż, że:
a) dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 4a^2 + 1 qslant 4a}\)
b)suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności jest nie mniejsza od 2;
c)jeśli a i b są liczbami tego samego znaku, to \(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} qslant 2}\)[/latex]

[natkoza]

a)
\(\displaystyle{ 4a^2-4a+1\geq 0\\
\Delta=0\\
a>0}\)
zatem funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe, a dla pozostałych \(\displaystyle{ x}\) ma wartości dodatnie
b)
\(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}\geq }\)

[meninio]

b) \(\displaystyle{ L=a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}=\frac{(a-1)^2+2a}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}+2 qslant 2=P}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{(a-1)^2}{a}}\) jest nieujemne dla każdego \(\displaystyle{ a R_+}\) i jeśli dodamy do niego 2 to na pewno uzyskana liczba będzie większa lub równa 2. C.N.D

[ Dodano: 14 Czerwca 2008, 17:41 ]
c)
\(\displaystyle{ L=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a-b)^2+2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}+2 qslant 2=P}\)

Jeśli a i b są tych samych znaków, to iloczyn ab jest dodatni. Wyrażenie w liczniku (a-b)^2 również jest stale nieujemne, więc cały ułamek jest na pewno nieujemny. Jeśli dodamy do niego 2 to napewno otrzymana liczba będzie większa od 2. C.N.D

[MagdaW]

c) Przedstawię trochę inny sposób (ale oczywiście poprzedni jest poprawny).
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} qslant 2 a ^{2}+b^{2} qslant 2ab a ^{2}+b^{2}-2ab qslant 0 (a-b) ^{2} qslant 0


cnd}\)

Możemy tak zrobić, ponieważ iloczyn liczb o takim samym znaku jest zawsze dodatni.

[meninio]

Dowodzenie nierówności powinno przebiegać, tak aby wyjść od lewej bądź prawej strony nierówności i poprzez kolejne przekształcenia dojść do strony drugiej. Czyli L->przekształcenia->P.
Dowodzenie nierówności poprzez jej przekształcanie nie jest zbyt dobrą metodą.

[frej]

no to ja proponuję skorzystać z nierówności pomiędzy średnimi arytmetyczną i geometryczną

[Qń]

Dowodzenie nierówności poprzez jej przekształcanie nie jest zbyt dobrą metodą.

Nieprawda, jest to metoda w pełni poprawna i czasami dużo bardziej elegancka.

Q.

[meninio]

Każdy ma swoje zdanie.

[Qń]

Oczywiście, że każdy może mieć swoje zdanie, ale matematyka to nauka na tyle ścisła, że w większości wypadków potrafi rozstrzygnąć które zdanie jest słuszne, a które nie. W tym wypadku zdanie, że metoda dowodzenia nierówności przez przekształcenia równoważne jest poprawna - jest słuszne. A kto twierdzi inaczej, ten najzwyczajniej w świecie nie ma racji.

Q.

[meninio]

A jak dowodzisz równości trygonometrycznych to też przekształcasz równanie?? Ja raczej jestem nauczony: wyjdź od lewej i dojdź do prawej lub na odwrót.

[Qń]

A jak dowodzisz równości trygonometrycznych to też przekształcasz równanie??

Zależnie od humoru, a co to ma do rzeczy?

Ja raczej jestem nauczony: wyjdź od lewej i dojdź do prawej lub na odwrót.

To, że zostałeś nauczony jednej z poprawnych metod nie znaczy, że wszystkie inne są niepoprawne.

Q.

[meninio]

Nigdzie nie napisałem, że są niepoprawne. Napisałem, że nie są zbyt dobrą.

[Qń]

Nigdzie nie napisałem, że są niepoprawne. Napisałem, że nie są zbyt dobrą.

A co to znaczy "zbyt dobra"?
W matematyce coś albo jest dobre (poprawne), albo nie. Pośrednich możliwości nie ma.

Q.

[Wrangler]

niby bardzo stary temat ale chciałbym go na chwilę odświeżyć, bo bardzo mi się podobają rozwiązania meninio , mam pytanie czy można w ten sposób udowodnić podpunkt "a", żeby nie sprzątać z prawej strony 4a ??

\(\displaystyle{ dla \ \ a \in R}\)
\(\displaystyle{ 4a^2+1 \ge 4a}\)
\(\displaystyle{ (2a-1)^2+4a \ge 4a}\)


i to by mogło zakończyć ten dowód?

PS. Dopiero próbuję uczyć się dowodzenia, ale sposób w jaki zrobił do meninio jest dla mnie jak najbardziej jasny - obrazujący rozwiązanie w sposób najbardziej widoczny i przyjemny dla oka .

[meninio]

W porządku - jest dobrze.