Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 198...

[bziuta]

Cyfry setek i jedności liczby trzycyfrowej n są liczbami nieparzystymi. Zapisując cyfry liczby n w odwrotnej kolejności, otrzymamy liczbę trzycyfrową k. Uzasadnij, że liczba n - k jest podzielna przez 198.

Zadanie pochodzi ze zbioru "Matura z matematyki 2005 - ...", cz.I, pod redakcją Andrzeja Kiełbasy. (Zad.6 str. 19)

[robert9000]

\(\displaystyle{ n=100a+10b+c \\
k=100c+10b+a \\
\\
\\
n-k=100a+10b+c-100c-10b-a=99(a-c) \\
\\
\\
198=2 99}\)

więc musisz pokazać, że a-c jest podzielne przez 2, z treści zadania wiemy, że są one nieparzyste, a nieparzysta odjąć nieparzysta daje parzystą

[N4RQ5]

mamy liczbę postaci:
100a+10b+c
i drugą po odwróceniu cyfr
100c+10b+a

\(\displaystyle{ (100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)}\)
Więc mamy już podzielność przez 99. Liczba będzie podzielna przez 198 jeśli jest parzysta. No ale skoro a i c są nieparzyste to a-c jest parzyste.

[meninio]

liczba n:\(\displaystyle{ n=100a+10b+c=100(2p+1)+10b+(2q+1)}\)
liczba k:\(\displaystyle{ k=100c+10b+a=100(2q+1)+10b+(2p+1)}\)

gdzie cyfry a,c są równe: \(\displaystyle{ a=2p+1, c=2q+1 p,q \lbrace 0,1,2,3,4 \rbrace}\) - bo mają byc nieparzyste

\(\displaystyle{ n-k=200p+100+10b+2q+1-200q-100-10b-2p-1=198p-198q=198(p-q)}\)c.n.d

[bziuta]

Dzięki, Menino.
Już wszystko rozumiem.

[Wrangler]

gdzie cyfry a,c są równe: \(\displaystyle{ a=2p+1, c=2q+1 \wedge p,q \in \lbrace 0,1,2,3,4 \rbrace}\) - bo mają byc nieparzyste
\(\displaystyle{ n-k=200p+100+10b+2q+1-200q-100-10b-2p-1=198p-198q=198(p-q)}\)c.n.d

Nie do końca mogę się zgodzić z tym założeniem odnośnie p i q. Bo przypuśćmy, że p i q ma taką samą wartość, to ten dowód nie ma sensu przy takim założeniu..? Czy jednak mylę się?

[abc666]

Zero jest podzielne przez \(\displaystyle{ 198}\)

[Wrangler]

fakt.... sorry