Wykazać, że wśród dowolnych 100 liczb naturalnych...

[jakamaichi01]

Mam zadania, z którymi nie mogę sobie poradzić. Pomóżcie proszę.

1. Wykazać, że wśród dowolnych 100 liczb naturalnych są dwie, dla których suma lub różnica jest podzielna przez 196.

2. Wykazać, że wśród dowolnych 100 liczb naturalnych, z których każda jest mniejsza od 198 są trzy, z których jedna jest sumą dwóch pozostałych.

3. Ile dzielników naturalnych ma liczba 420000?


pozdrawiam
jakamaichi

[MagdaW]

1.
Rozważmy kilka przypadków:
1. Co najmniej dwie liczby są równe- wtedy ich różnica jest podzielna przez 196
2. Są wśród nich takie dwie liczby, które dają równe reszty przy dzieleniu przez 196- ich różnica dzieli się przez 196
3. Są to liczby dające różne reszty przy dzieleniu przez 196. Zauważmy, że muszą wśród nich istnieć takie, których suma tych reszt wynosi 196-wtedy ich suma też jest podzielna przez 196.

c.n.d.

Uwaga:
Nie rozwiązywałam takich zadań wcześniej, więc nie mogę być pewna swojego rozwiązania.

[robert9000]

3)
najpierw tą liczbę trzeba rozłożyć:
\(\displaystyle{ 420000=42 10000=6 7 10^{4}=2 3 7 (2 5)^{4}=2 3 7 2^{4} 5^{4}=2^{5} 3 7 5^{4}}\)

naturalnych dzielników jest:
\(\displaystyle{ (5+1) (1+1) (1+1) (4+1)=6 2 2 5=12 10=120}\)

[MatizMac]

skad wynika ten ostatni zapis: "naturalnych dzielnikow jest: ...." ?

[Sylwek]

Liczba dzielników \(\displaystyle{ k=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}}\) jest równa: \(\displaystyle{ D(k)=\prod_{i=1}^n (\alpha_i+1)}\) - spróbuj to udowodnić.