Dowiedz, że każda liczba całkowita różna od 0 może byc przedstawiona w postaci \(\displaystyle{ (3x-1)(2y-1)}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) są całkowite i podobnie w postaci \(\displaystyle{ (3x+1)(2y+1)}\).
Z góry wielkie dzięki.
Dowód na wzór przedstawienia liczby
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Dowód na wzór przedstawienia liczby
Każda niezerowa liczba całkowita jest postaci \(\displaystyle{ 2^n(2m+1)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ n,m}\) całkowitych.
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to w napisie \(\displaystyle{ (3x-1)(2y-1)}\) kładziemy:
\(\displaystyle{ x=-\frac{2^n-1}{3} , y=-m}\)
Jeśli zaś \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to przyjmujemy:
\(\displaystyle{ x=\frac{2^n+1}{3} , y=m+1}\)
(parzystość \(\displaystyle{ n}\) trzeba było rozpatrywać, żeby te ułamki z trójką w mianowniku rzeczywiście dawały liczbę całkowitą).
Analogicznie w przypadku \(\displaystyle{ (3x+1)(2y+1)}\) (pozostawiam jako ćwiczenie).
Q.
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to w napisie \(\displaystyle{ (3x-1)(2y-1)}\) kładziemy:
\(\displaystyle{ x=-\frac{2^n-1}{3} , y=-m}\)
Jeśli zaś \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to przyjmujemy:
\(\displaystyle{ x=\frac{2^n+1}{3} , y=m+1}\)
(parzystość \(\displaystyle{ n}\) trzeba było rozpatrywać, żeby te ułamki z trójką w mianowniku rzeczywiście dawały liczbę całkowitą).
Analogicznie w przypadku \(\displaystyle{ (3x+1)(2y+1)}\) (pozostawiam jako ćwiczenie).
Q.