[nierówność] n! >= 1000^n

[Czebyszew]

topic
intersuje mnie rozwiązanie w lN, myśle nad tym dzisiaj od jakiegoś czasu i nie mogę rozwiązać :+C.

[juzef]

\(\displaystyle{ n=0 n\geq2714}\)

[g]

n>2713 lub n=0

[Tristan]

Taa...a jak do tego dojść? i ogólnie, jak rozwiązywać \(\displaystyle{ n!\geq x^n}\) gdy mamy podany x?

[g]

kompjutrem. chyba, ze x duze, to wtedy na palcach szukac n w okolicach \(\displaystyle{ x e}\).

[juzef]

Ja to zrobiłem metodą małego Kazia, to znaczy oszacowałem jaki mniej więcej może być próg, przy którym silnia staje się większa niż wielomian, a następnie za pomocą kompa sprawdziłem ile to jest dokładnie.

[Tristan]

g -a czy mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego mamy szukać w tych okolicach? I czy można to zrobić na kartce papieru, jeśli ktoś nie ma kompjutera:)?

[juzef]

Pamiętamy chyba, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to }{\frac{\sqrt{2\pi n}\cdot (\frac{n}{e})^n}{n!}=1}\).

[Czebyszew]

to może, z tym sobie na kartce poradzicie:
2^n >= n^100, n > 1 naturalne :+)

widać, że trzeba szukać między 2^9 a 2^10, ale co dalej ? :+C

[g]

widac, ze dla n=1000 jest niewielka roznica. na kompie sprawdzasz, ze punkt przeciecia jest niewiele nizej - miedzy 996 i 997.