wykaż że różnica czwartych potęg ... dzieli się przez

[leszczyk228]

Wykaż, że różnica czwarych potęg dwóch liczb całkowitych różniących się o 2k dzieli się przez 8k.

[Tristan]

Zapiszmy pierwszą z tych liczb jako x+2k, a drugą jako x. Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ (x+2k)^4-x^4=x^4+4x^3 2k+6x^2(2k)^2+4x(2k)^3+(2k)^4-x^4=8kx^3+24k^2x^2+32k^3x+16k^4=8k(x^3+3kx^2+4k^2x+2k^3)}\),
czyli różnica dzieli się przez 8k:). Oczywiście korzystam tutaj z wzoru skróconego mnożenia sumy dwóch czynników do potęgi czwartej, widzę, że iksy do potęgi czwartek się skracają, później wymnażam wyrazy oraz wyciągam to co się dało, czyli właśnie 8k. Myślę, że wszystko jest zrozumiałe, ale jeśli coś nie gra, to pytaj:)