Wyznacz cyfrę jedności

[BP]

Mam problem z takowym zadaniem:
Dane są różne liczby naturalne \(\displaystyle{ m}\)

[MagdaW]

Zauważ, że jeżeli suma jest parzysta, to i różnica musi być parzysta
\(\displaystyle{ 2 ^{n ^{2}-m ^{2} } =2 ^{(n+m)(n-m)}=2 ^{2n 2k}=2 ^{4kn}}\)

\(\displaystyle{ 2\equiv2(mod10)

2 ^{2}\equiv4(mod10)

2 ^{3}\equiv8(mod10)

2 ^{4}\equiv6(mod10)

2 ^{4n}\equiv6(mod10)}\)

cyfra jedności: 6

[ Dodano: 27 Maj 2008, 14:13 ]
ps
Jeżeli nie wiesz, co to są kongruencje, to zauważ, że ostatnie cyfry potęg liczby 2 powtarzają się co 4.

[kuch2r]

Lemat:
\(\displaystyle{ 6^{n}\equiv 6 \mod{10}}\) dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)
Ponadto wiemy, ze:
\(\displaystyle{ n+m=2k}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ m=2k-n}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ 2^{n^2-m^2}=2^{(n-m)(n+m)}=2^{2k(2n-2k)}=16^{k(n-k)}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 16^{k(n-k)}\equiv 6 \mod{10}}\)

[BP]

Wielkie dzięki za pomoc.
Mam jeszcze pytanie, w jaki sposób udowodnić lemat: \(\displaystyle{ 6 ^{n} \equiv 6}\)?
(Nie znam się na kongruencji)

[MagdaW]

\(\displaystyle{ 6 ^{n} \equiv6(mod10)}\)

Zapis \(\displaystyle{ 6 ^{n}\equiv6}\) nic nie znaczy, bo np. \(\displaystyle{ 6 ^{2}\equiv1(mod7)}\)

[BP]

Dzięki.
Widzę, że muszę się trochę douczyć...