Mam problem. Dostałem nastepujące zadanie i nie weim jak je rozwiązać :
Jest wyrażenie \(\displaystyle{ 2^{16} + 3^{40} + 5^{2999} + 2\cdot 4^7}\) . Czy wynik tego wyrażenia da się podzielić przez 10 .
[ Dodano: Sro Wrz 28, 2005 6:09 pm ]
z góry dziekuje
[ Dodano: Sro Wrz 28, 2005 6:11 pm ]
odpowiedzi prosze pisać na meila kamill-miku@02.pl
Podzielnosc - zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 11 wrz 2005, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań - Warszawa - Dublin
- Pomógł: 47 razy
Podzielnosc - zadanie.
Interesuje nas ostatnia cyfra:
(6+1+5+2)mod10=4
A więc nie jest podzielne przez 10.
Edit:
W nawiasie rzeczywiście ostatnia cyfra powinna wynosić 8.
(6+1+5+2)mod10=4
A więc nie jest podzielne przez 10.
Edit:
W nawiasie rzeczywiście ostatnia cyfra powinna wynosić 8.
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2005, o 17:25 przez tommik, łącznie zmieniany 1 raz.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Podzielnosc - zadanie.
\(\displaystyle{ 2^{10}\equiv 4 od {10}}\)
\(\displaystyle{ 2^6=64}\), więc
\(\displaystyle{ 2^{16}\equiv 2^8 = 256 \equiv 6 od {10}}\) (*)
Zauważ, że każda potęga piątki daje resztę 5 przy dzieleniu przez 10, więc:
\(\displaystyle{ 5^{2999}\equiv 5 od {10}}\) (**)
\(\displaystyle{ 3^4\equiv 1 od {10}}\), więc:
\(\displaystyle{ 3^{40}\equiv 1 od {10}}\) (***)
\(\displaystyle{ 2^{10}\equiv 4 od {10}}\)
\(\displaystyle{ 2^{14}=4^7\equiv 2^6=64\equiv 4\pmod {10}}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot 4^7\equiv 8\pmod {10}}\) (****)
Dodając kongruencje (*), (**), (***) i (****) stronami dostajesz:
\(\displaystyle{ 2^{16}+5^{2999}+3^{40}+2\cdot 4^7 \equiv 6 + 5 + 1 + 8 = 20 \equiv 0 od {10}}\), więc nasza suma jest podzielna przez 10.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
\(\displaystyle{ 2^6=64}\), więc
\(\displaystyle{ 2^{16}\equiv 2^8 = 256 \equiv 6 od {10}}\) (*)
Zauważ, że każda potęga piątki daje resztę 5 przy dzieleniu przez 10, więc:
\(\displaystyle{ 5^{2999}\equiv 5 od {10}}\) (**)
\(\displaystyle{ 3^4\equiv 1 od {10}}\), więc:
\(\displaystyle{ 3^{40}\equiv 1 od {10}}\) (***)
\(\displaystyle{ 2^{10}\equiv 4 od {10}}\)
\(\displaystyle{ 2^{14}=4^7\equiv 2^6=64\equiv 4\pmod {10}}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot 4^7\equiv 8\pmod {10}}\) (****)
Dodając kongruencje (*), (**), (***) i (****) stronami dostajesz:
\(\displaystyle{ 2^{16}+5^{2999}+3^{40}+2\cdot 4^7 \equiv 6 + 5 + 1 + 8 = 20 \equiv 0 od {10}}\), więc nasza suma jest podzielna przez 10.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki