Liczby

[limes123]

Udowodnij, że każdy dzielnik liczby Fermata \(\displaystyle{ F_n}\) jest postaci \(\displaystyle{ k\cdot 2^{n+1}+1}\) dla całkowitego k.
\(\displaystyle{ F_n=2^{2^{n}}+1}\)

[King James]

Udowodnij, że każdy dzielnik liczby Fermata \(\displaystyle{ F_n}\) jest postaci \(\displaystyle{ k\cdot 2^{n+1}+1}\) dla całkowitego k.
\(\displaystyle{ F_n=2^{2^{n}}+1}\)

Można udowodnić twierdzenie mocniejsze:

Każdy dzielnik \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ a^{2^n}+1}\) jest postaci \(\displaystyle{ 2^{n+1}k+1}\) dla całkowitego \(\displaystyle{ k}\), parzystego \(\displaystyle{ a}\) i naturalnego \(\displaystyle{ n}\).

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ p}\) bedzie dzielnikiem pierwszym liczby \(\displaystyle{ a^{2^n}+1}\). Wtedy \(\displaystyle{ a^{2^n}+1 \equiv 0 \mod p \}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ a^{2^{n+1}} \equiv 1 \mod p}\) Zauważmy, że \(\displaystyle{ a^{2^n} \not\equiv 1 \modp}\), gdyby \(\displaystyle{ a^{2^n} \equiv 1 \mod p}\) to \(\displaystyle{ a^{2^n}+1-\left(a^{2^n}-1\right) \equiv 0 \mod p}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ 2\equiv0 \mod p}\), \(\displaystyle{ p=2}\), zatem sprzeczność.
Niech \(\displaystyle{ \delta}\) oznacza wykładnik do którego należy liczba \(\displaystyle{ a}\) modulo \(\displaystyle{ p}\). Wówczas \(\displaystyle{ \delta | 2^{n+1}}\) więc \(\displaystyle{ \delta=2^r}\) dla pewnego \(\displaystyle{ r\leq n+1}\). Gdyby \(\displaystyle{ r}\)

[limes123]

Super:D Dzięki.