Wzór ogólny na liczby spełniające równanie.

[JakubSikora]

Rozwiąż na liczbach całkowitych równanie:
\(\displaystyle{ a ^{2}+ b^{2} =c ^{2} +d ^{2}}\)
a,b,c,d należą do liczb całkowitych, a rozwiązaniem ma być wzór ogólny na te liczby.
Czy ktoś ma pomysł jak sie za to zabrać?

"proste? zadanie" nie mówi wiele o treści. Kasia

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ a=\frac{d^2-b^2+m^2}{2m}}\)
\(\displaystyle{ c=\frac{d^2-b^2-m^2}{2m}}\)
d, b ustalone , t ze\(\displaystyle{ d^2-b^2}\)
jest parzyste,

[JakubSikora]

Czy mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć jak doszedłeś do takiego rozwiązania?

[ Dodano: 7 Maj 2008, 22:12 ]
Do ogólnego rozwiązania potrzeba jeszcze znaleźć d oraz b. Wiemy że \(\displaystyle{ d ^{2} -b ^{2}}\) jest parzyste
oraz że m to dzielnik \(\displaystyle{ d ^{2} -b ^{2}}\). Czyli \(\displaystyle{ d ^{2} -b ^{2} =2km}\)
Np.
\(\displaystyle{ d -b =2k}\)
\(\displaystyle{ d + b=m}\)
Moje proźba brzmi czy ktoś mógłby napisać rozwiązanie tych dwóch równań diofantycznych.
Dzięki temu możliwe bedzie wyrażenie liczb a,b,c,d za pomocą jak najogólniejszego wzoru.

[mol_ksiazkowy]

Liczby d i b wybieramy dowolnie ale tak by obie były parzyste badz obie nieparzyste. Wtedy \(\displaystyle{ d^2-b^2}\) jest pzrzyste, nasz równanie zapisac mozna
\(\displaystyle{ a^2-c^2=(a-c)(a+c) =d^2-b^2}\) tj
a-c=m
\(\displaystyle{ a+c=\frac{d^2-b^2}{m}}\)
gdzie m jest parzystym dzielnikiem \(\displaystyle{ d^2-b^2}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{d^2-b^2}{m}}\)
tez jest parzyste,
Istotnie wtedy
\(\displaystyle{ a= \frac{d^2-b^2}{2m}- \frac{m}{2}}\)
jest l. naturlana Podobnie c, Tak idea w zarysie

Klamry nad całym wyrażeniem.