Znajdź wszystkie liczby pierwsze

[binaj]

Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), takie, że:

a) \(\displaystyle{ p+10}\) i \(\displaystyle{ p+20}\) są liczbami pierwszymi

b) \(\displaystyle{ p^2-2, \ 2p^2-1, \ 3p^2+4}\) są liczbami pierwszymi

c) \(\displaystyle{ p^2+11}\) ma dokładnie 6 różnych dzielników

[Brzytwa]

1) liczby \(\displaystyle{ p,p+10 \ i \ p+20}\) dają różne reszty przy dzieleniu przez 3. Zatem jedna z nich musi być podzielna przez 3. Ponieważ mają być to liczby pierwsze, więc \(\displaystyle{ p=3}\).

3)Oczywiście \(\displaystyle{ p \neq 2}\). Z kolei \(\displaystyle{ p=3}\) spełnia warunki dane w zadaniu. Dla \(\displaystyle{ p \geqslant 5}\) liczba \(\displaystyle{ p^{2}+11}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 1,2,3,\frac{p^{2}+11}{3},\frac{p^{2}+11}{2},p^{2}+11}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p^{2}+11 >18}\), tak więc również \(\displaystyle{ 6}\) dzieli \(\displaystyle{ p^{2}+11}\), co przeczy warunkom zadania.

[Tristan]

Ad 2:
Sprawdzamy wpierw wartości dla p=2,3,5,7. Jeśli p>7, to \(\displaystyle{ p \equiv 1,2,3,4,5,6 ( \mod 7)}\), więc \(\displaystyle{ p^2 \equiv 1,2,4 (\mod 7)}\). Rozważamy zatem trzy przypadki:
1. Jeśli \(\displaystyle{ p^2 \equiv 1 (\mod 7)}\), to \(\displaystyle{ 3p^2 +4 \equiv 0 ( \mod 7)}\), czyli \(\displaystyle{ 7| 3p^2+4}\), a \(\displaystyle{ 3p^2+4>7}\), więc nie będzie liczbą pierwszą.
2. Jeśli \(\displaystyle{ p^2 \equiv 2(\mod 7)}\), to \(\displaystyle{ p^2 -2 \equiv 0 (\mod 7)}\) i argumentacja jak wyżej.
3. Jeśli \(\displaystyle{ p^2 \equiv 4(\mod 7)}\), to \(\displaystyle{ 2p^2 -1 \equiv 0 (\mod 7)}\) i argumentacja jak w podpunkcie pierwszym.