liczby pierwsze podzielne przez 24

[dabros]

Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p>3}\) liczba \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\).

[tkrass]

\(\displaystyle{ p^{2}-1=(p-1)(p+1)}\)
dokładnie jeden z czynników podzielny przez 2 ale nie przez 4, dokładnie jeden podzielny przez 4. dokładnie jeden podzielny przez 3. \(\displaystyle{ 2 4 3=24}\)

[dabros]

no tak, rzeczywiście - jakoś mi umknęło to pierwsze stwierdzenie
oczywiście dziękuję za pomoc

[Swistak]

Też kiedyś spotkałem się z tym zadaniem i zrobiłem je tak:
\(\displaystyle{ (2a+1)^{2}-1=4a^{2}+4a=4a(a+1)}\)
\(\displaystyle{ (3b+1)^{2}-1=9b^{2}+6b=3b(3b+2)}\)
\(\displaystyle{ (3c+2)^{2}-1=9c^{2}+12c+3=3(3c^{2}+4c+1)}\).
Z pierwszego działania można stwierdzić, że \(\displaystyle{ 8|p^{2}-1}\), a z drugiego i trzeciego, że \(\displaystyle{ 3|p^{2}-1}\), a zatem \(\displaystyle{ 24|p^{2}-1}\). Analogicznie rozumując, można też zauważyć, ze jeżeli \(\displaystyle{ p>5}\), to \(\displaystyle{ 120|p^{2}-1}\).

[Sylwek]

Twój dowód jest dobry, ale uogólnienie woła o pomstę do nieba
np. \(\displaystyle{ 7^2-1=48 \equiv 48 \ (mod 120)}\) lub \(\displaystyle{ 13^2-1=168 \equiv 48 \ (mod 120)}\)

A dowód tkrass-a jest najlepszy

[Swistak]

Kurczę coś mi się pomyliło ;P. Sprawdziłem sobie tylko dla 11 xD. To leciało tak, że dla każdego \(\displaystyle{ p>5}\), albo \(\displaystyle{ p^{2}-1}\) albo \(\displaystyle{ p^{2}+1}\) jest podzielne przez 5 .

[Ciamolek]

Hm, wszystko co merytoryczne zostało już napisane, ale sam temat jest boski: "liczby pierwsze podzielne przez 24".