liczby pierwsze podzielne przez 24
- dabros
- Użytkownik
- Posty: 1121
- Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 4 razy
liczby pierwsze podzielne przez 24
Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p>3}\) liczba \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\).
- tkrass
- Użytkownik
- Posty: 1464
- Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 186 razy
liczby pierwsze podzielne przez 24
\(\displaystyle{ p^{2}-1=(p-1)(p+1)}\)
dokładnie jeden z czynników podzielny przez 2 ale nie przez 4, dokładnie jeden podzielny przez 4. dokładnie jeden podzielny przez 3. \(\displaystyle{ 2 4 3=24}\)
dokładnie jeden z czynników podzielny przez 2 ale nie przez 4, dokładnie jeden podzielny przez 4. dokładnie jeden podzielny przez 3. \(\displaystyle{ 2 4 3=24}\)
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
liczby pierwsze podzielne przez 24
Też kiedyś spotkałem się z tym zadaniem i zrobiłem je tak:
\(\displaystyle{ (2a+1)^{2}-1=4a^{2}+4a=4a(a+1)}\)
\(\displaystyle{ (3b+1)^{2}-1=9b^{2}+6b=3b(3b+2)}\)
\(\displaystyle{ (3c+2)^{2}-1=9c^{2}+12c+3=3(3c^{2}+4c+1)}\).
Z pierwszego działania można stwierdzić, że \(\displaystyle{ 8|p^{2}-1}\), a z drugiego i trzeciego, że \(\displaystyle{ 3|p^{2}-1}\), a zatem \(\displaystyle{ 24|p^{2}-1}\). Analogicznie rozumując, można też zauważyć, ze jeżeli \(\displaystyle{ p>5}\), to \(\displaystyle{ 120|p^{2}-1}\).
\(\displaystyle{ (2a+1)^{2}-1=4a^{2}+4a=4a(a+1)}\)
\(\displaystyle{ (3b+1)^{2}-1=9b^{2}+6b=3b(3b+2)}\)
\(\displaystyle{ (3c+2)^{2}-1=9c^{2}+12c+3=3(3c^{2}+4c+1)}\).
Z pierwszego działania można stwierdzić, że \(\displaystyle{ 8|p^{2}-1}\), a z drugiego i trzeciego, że \(\displaystyle{ 3|p^{2}-1}\), a zatem \(\displaystyle{ 24|p^{2}-1}\). Analogicznie rozumując, można też zauważyć, ze jeżeli \(\displaystyle{ p>5}\), to \(\displaystyle{ 120|p^{2}-1}\).
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
liczby pierwsze podzielne przez 24
Twój dowód jest dobry, ale uogólnienie woła o pomstę do nieba
np. \(\displaystyle{ 7^2-1=48 \equiv 48 \ (mod 120)}\) lub \(\displaystyle{ 13^2-1=168 \equiv 48 \ (mod 120)}\)
A dowód tkrass-a jest najlepszy
np. \(\displaystyle{ 7^2-1=48 \equiv 48 \ (mod 120)}\) lub \(\displaystyle{ 13^2-1=168 \equiv 48 \ (mod 120)}\)
A dowód tkrass-a jest najlepszy
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
liczby pierwsze podzielne przez 24
Kurczę coś mi się pomyliło ;P. Sprawdziłem sobie tylko dla 11 xD. To leciało tak, że dla każdego \(\displaystyle{ p>5}\), albo \(\displaystyle{ p^{2}-1}\) albo \(\displaystyle{ p^{2}+1}\) jest podzielne przez 5 .
-
- Użytkownik
- Posty: 440
- Rejestracja: 4 mar 2008, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 42 razy
liczby pierwsze podzielne przez 24
Hm, wszystko co merytoryczne zostało już napisane, ale sam temat jest boski: "liczby pierwsze podzielne przez 24".