Jak zrobić takie coś :
Korzystając z własności kongruencji (m.in. małego twierdzenia Fermata), sprawdzić, że
dla każdej liczby naturalnej n:
\(\displaystyle{ 13| (1 + 3^{3n+1} + 9^{3n+1} )}\)
Dziękuję za pomoc i pozdrawiam
Kongruencje i podzielność przez 13.
-
unikat900
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 5 razy
Kongruencje i podzielność przez 13.
Mamy udowodnić, że
\(\displaystyle{ 13|1+3^{3n+1}+9^{3n+1}}\)
Rozpatrujemy każdą z tych liczb osobno i tak zaczynając od pierwszej:
\(\displaystyle{ 1=1 mod 13}\)
Przechodzimy do drugiej:
\(\displaystyle{ 3^3=1 mod 13}\)
\(\displaystyle{ 3^{3n}=1^n \ mod13=1mod13}\)
\(\displaystyle{ 3^{3n+1}=3mod13}\)
po czym do trzeciej:
\(\displaystyle{ 9^3=1mod13}\)
\(\displaystyle{ 9^{3n} = 1mod13}\)
\(\displaystyle{ 9^{3n+1}=9mod13}\)
I w końcu dodajemy wszystko stronami:
\(\displaystyle{ 1+3^{3n+1}+9^{3n+1} = (1+3+9)mod13 = 0mod13}\)
Jeżeli ta liczby dzieli nam się 0mod13, to znaczy że jej reszta z dzielenia jest równa zero i jest podzielna przez 13. I też dzięki za pomoc .
\(\displaystyle{ 13|1+3^{3n+1}+9^{3n+1}}\)
Rozpatrujemy każdą z tych liczb osobno i tak zaczynając od pierwszej:
\(\displaystyle{ 1=1 mod 13}\)
Przechodzimy do drugiej:
\(\displaystyle{ 3^3=1 mod 13}\)
\(\displaystyle{ 3^{3n}=1^n \ mod13=1mod13}\)
\(\displaystyle{ 3^{3n+1}=3mod13}\)
po czym do trzeciej:
\(\displaystyle{ 9^3=1mod13}\)
\(\displaystyle{ 9^{3n} = 1mod13}\)
\(\displaystyle{ 9^{3n+1}=9mod13}\)
I w końcu dodajemy wszystko stronami:
\(\displaystyle{ 1+3^{3n+1}+9^{3n+1} = (1+3+9)mod13 = 0mod13}\)
Jeżeli ta liczby dzieli nam się 0mod13, to znaczy że jej reszta z dzielenia jest równa zero i jest podzielna przez 13. I też dzięki za pomoc .