wykaz, ze uklad nie ma rozwiazania dla a>1
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+yz+a=1\\
y^2+zx+6a=6\\
z^2+xy+2007a=2007\end{cases}}\)
Układ równań kwadratowych z parametrem.
-
Brzytwa
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Układ równań kwadratowych z parametrem.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a>1}\) i układ ten ma rozwiązania. Wówczas:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+yz=1-a < 0 \\ y^{2}+zx=1-a < 0 \\ z^{2}+xt=1-a < 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx < 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (x+y)^{2}+ \frac{1}{2} (y+z)^{2} +\frac{1}{2} (z+x)^{2} < 0}\)
co jest oczywiście nieprawdziwe dla dowlnych liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\). Zatem nasz teza jest fałszywa. To dowodzi, że dla \(\displaystyle{ a>1}\) układ ten nie ma rozwiązań.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+yz=1-a < 0 \\ y^{2}+zx=1-a < 0 \\ z^{2}+xt=1-a < 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx < 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (x+y)^{2}+ \frac{1}{2} (y+z)^{2} +\frac{1}{2} (z+x)^{2} < 0}\)
co jest oczywiście nieprawdziwe dla dowlnych liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\). Zatem nasz teza jest fałszywa. To dowodzi, że dla \(\displaystyle{ a>1}\) układ ten nie ma rozwiązań.