9|10^n + 8

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Mbach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: braku inwencji
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 25 razy

9|10^n + 8

Post autor: Mbach »

jak w temacie: ma udowodnić, że \(\displaystyle{ 9|10^n + 8}\)
no więc robię sobie tak:
\(\displaystyle{ 10^n + 8 = 10\cdot 10^{n-1}+8= 9\cdot 10^{n-1} + 10^{n-1}+8 = \bigsum_{k=1}^{n-1} 9\cdot 10^k + 10^0 + 8 = 9\bigsum_{k = 1}^{n-1}10^k + 9}\)a to już jest podzielne przez 9. Czy to jest dobre rozwiązania? Moje pierwsze zadania z podzielności.
Ostatnio zmieniony 3 sie 2005, o 21:22 przez Mbach, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

9|10^n + 8

Post autor: Tomasz Rużycki »

Zauważ, że suma cyfr \(\displaystyle{ 10^n + 8}\) jest równa dziewięć, z czego prosto wynika teza.

Albo inaczej troszkę

\(\displaystyle{ 10\equiv 1\pmod 9}\), więc
\(\displaystyle{ 10^n \equiv 1 od 9}\) oraz
\(\displaystyle{ 8\equiv -1\pmod 9}\), z czego dostajemy
\(\displaystyle{ 10^n+8\equiv 0\pmod 9}\).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Mbach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: braku inwencji
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 25 razy

9|10^n + 8

Post autor: Mbach »

Hmm, a to co napisałem, jest dobrym rozwiązaniem?
Dzięki za to, co napisałeś, Muszę jeszcze kongruencje przerobić
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

9|10^n + 8

Post autor: Tomasz Rużycki »

Jakoś nie widze, skąd Ci tam ta suma się wzięła:) Rozwiń troszkę to, jeśli można.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Mbach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: braku inwencji
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 25 razy

9|10^n + 8

Post autor: Mbach »

\(\displaystyle{ 10 \cdot 10^{n-1} + 8 = (9+1)10^{n-1}+8=9\cdot 10^{n-1}+10^{n-1}+8 = 9\cdot 10^{n-1}+9\cdot 10^{n-2} + 9\cdot10^{n-3}+ 10^{n-3}+8 =...=10^0+\sum^{n}_{k=1}9\cdot 10^k + 8}\)
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

9|10^n + 8

Post autor: Tomasz Rużycki »

Tak, jest dobrze, tylko wydaje mi się, że coś 'pomotałeś' z sumami:) Ale idea jest dobra, można to również w ten sposób udowodnić.


\(\displaystyle{ 10^n=10\cdot 10^{n-1}=9\cdot 10^{n-1}+9\cdot 10^{n-1}+\ldots + 9\cdot 10^0 + 1}\), a z tego już prosto dostaniesz tezę.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
_el_doopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 453
Rejestracja: 22 sie 2004, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

9|10^n + 8

Post autor: _el_doopa »

piszecie jakies brzydkie i trzeba sie wczytywac a ta
liczba jest postaci 10000000..008 i jest taka cecha podzielnosci co sie uczy w 4 klasie podstawowki
Mbach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: braku inwencji
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 25 razy

9|10^n + 8

Post autor: Mbach »

Też racja Niestety - mam niedosyt posiadanych umiejętności, dlatego próbuję nadrobić braki.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

9|10^n + 8

Post autor: Tomasz Rużycki »

el_doopa, przeczytaj pierwsze zdanie w moim pierwszym poście w tym wątku...


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
ODPOWIEDZ