Czy \(\displaystyle{ 4 ^{101} + 5 ^{2008}}\) jest liczbą pierwszą?
próbuje kongruencją ale mi nie wychodzi
można prosić o pomoc?
liczba pierwsza
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 3 kwie 2008, o 15:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: toruń
- limes123
- Użytkownik
- Posty: 666
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ustroń
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 93 razy
liczba pierwsza
Jest też podzielne przez 7
\(\displaystyle{ 4^3\equiv -1(mod7)\iff 4^{99}\equiv -1(mod7)\iff 4^{101}\equiv-16\equiv 5(mod 7)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 5^3\equiv -1(mod 7)\iff (5^3)^{669}\equiv -1(mod7)\iff 5^{2008}\equiv -5\equiv 2(mod7)}\) a z tego już wynika, że dane wyrażenie jest podzielne przez 7 czyli nie jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ 4^3\equiv -1(mod7)\iff 4^{99}\equiv -1(mod7)\iff 4^{101}\equiv-16\equiv 5(mod 7)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 5^3\equiv -1(mod 7)\iff (5^3)^{669}\equiv -1(mod7)\iff 5^{2008}\equiv -5\equiv 2(mod7)}\) a z tego już wynika, że dane wyrażenie jest podzielne przez 7 czyli nie jest liczbą pierwszą.
-
- Użytkownik
- Posty: 324
- Rejestracja: 28 mar 2008, o 09:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 121 razy
liczba pierwsza
niestety to wyrażenie nie jest podzielne przez 7
\(\displaystyle{ 4^{3}=64=7 9 +1}\), czyli \(\displaystyle{ 4^{3} \equiv 1 (mod 7)}\)
\(\displaystyle{ 4^{3} \equiv 1 (mod 7) \iff 4^{101} \equiv 2 (mod 7)}\)
\(\displaystyle{ 4^{3}=64=7 9 +1}\), czyli \(\displaystyle{ 4^{3} \equiv 1 (mod 7)}\)
\(\displaystyle{ 4^{3} \equiv 1 (mod 7) \iff 4^{101} \equiv 2 (mod 7)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 260
- Rejestracja: 3 lis 2007, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nidzica
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 59 razy
liczba pierwsza
Jak dla mnie rozwiązanie powinno wyglądać tak
\(\displaystyle{ 4 ^{101}+5 ^{2008}=(2 ^{2} ) ^{101}+5 ^{2008}=2 ^{202}+5 ^{2008}=(2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2} -2 2 ^{101} 5 ^{1004}=}\)\(\displaystyle{ (2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2}-(2 ^{51} 5 ^{502} ) ^{2}=(2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2} -(2 ^{51} 5 ^{502}) ^{2} =(2 ^{101}+5 ^{1004}-2 ^{51} 5 ^{502})(2 ^{101}+5 ^{1004}+2 ^{51} 5 ^{502})}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{101}+5 ^{2008}=(2 ^{2} ) ^{101}+5 ^{2008}=2 ^{202}+5 ^{2008}=(2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2} -2 2 ^{101} 5 ^{1004}=}\)\(\displaystyle{ (2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2}-(2 ^{51} 5 ^{502} ) ^{2}=(2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2} -(2 ^{51} 5 ^{502}) ^{2} =(2 ^{101}+5 ^{1004}-2 ^{51} 5 ^{502})(2 ^{101}+5 ^{1004}+2 ^{51} 5 ^{502})}\)