liczba pierwsza

[The_Monster]

Czy \(\displaystyle{ 4 ^{101} + 5 ^{2008}}\) jest liczbą pierwszą?

próbuje kongruencją ale mi nie wychodzi
można prosić o pomoc?

[aga92]

Jest podzielna przez 29, ale doszłam do tego z pomocą kompa.

[Pablo09]

Wskazówka : spróbój przedstawić to wyrażenie w postaci iloczynu dwóch liczb, korzystając jedynie ze wzorów skróconego mnożenia

[limes123]

Jest też podzielne przez 7
\(\displaystyle{ 4^3\equiv -1(mod7)\iff 4^{99}\equiv -1(mod7)\iff 4^{101}\equiv-16\equiv 5(mod 7)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 5^3\equiv -1(mod 7)\iff (5^3)^{669}\equiv -1(mod7)\iff 5^{2008}\equiv -5\equiv 2(mod7)}\) a z tego już wynika, że dane wyrażenie jest podzielne przez 7 czyli nie jest liczbą pierwszą.

[aga92]

niestety to wyrażenie nie jest podzielne przez 7
\(\displaystyle{ 4^{3}=64=7 9 +1}\), czyli \(\displaystyle{ 4^{3} \equiv 1 (mod 7)}\)
\(\displaystyle{ 4^{3} \equiv 1 (mod 7) \iff 4^{101} \equiv 2 (mod 7)}\)

[limes123]

Ehh racja... gdzieś się ten minusik wkradł na kartce i całe zadanie leży... Ale pomyślę jeszcze nad jakims prawidłowym rozwiązaniem.

[Pablo09]

Jak dla mnie rozwiązanie powinno wyglądać tak
\(\displaystyle{ 4 ^{101}+5 ^{2008}=(2 ^{2} ) ^{101}+5 ^{2008}=2 ^{202}+5 ^{2008}=(2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2} -2 2 ^{101} 5 ^{1004}=}\)\(\displaystyle{ (2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2}-(2 ^{51} 5 ^{502} ) ^{2}=(2 ^{101}+5 ^{1004}) ^{2} -(2 ^{51} 5 ^{502}) ^{2} =(2 ^{101}+5 ^{1004}-2 ^{51} 5 ^{502})(2 ^{101}+5 ^{1004}+2 ^{51} 5 ^{502})}\)