Jeśli (a,b)=1, to (a+b,a-b)=1 lub (a+b, a-b)=2

[wojciech0404]

witam,

mam mały problem z zadaniem:

Wykaż, że jeśli liczby całkowite a i b są względnie pierwsze,czyli jeśli (a,b)=1, to (a+b,a-b)=1 lub (a+b, a-b)=2

[Sylwek]

Może tak:
\(\displaystyle{ 2=2 (a,b) = 2 (b,a+b) qslant (2b, a+b)=(2b-a-b,a+b)=(b-a,a+b)=(a-b,a+b)}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ (a-b,a+b) qslant 2}\)

Po drodze skorzystałem z tożsamości \(\displaystyle{ k (x,y) qslant (k x,y)}\) oraz kilka razy z algorytmu Euklidesa.

[mol_ksiazkowy]

Jesli a+b=pm i a-b=pn, gdzie p jest l. pierwsza, Jesli p>2, to 2a=p(m+n) czyli p jest dzielnikiem a , a skoro jest tez dzielnikiem a+b, to p dzieli b . sprzecznosc