witam,
mam mały problem z zadaniem:
Wykaż, że jeśli liczby całkowite a i b są względnie pierwsze,czyli jeśli (a,b)=1, to (a+b,a-b)=1 lub (a+b, a-b)=2
Jeśli (a,b)=1, to (a+b,a-b)=1 lub (a+b, a-b)=2
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 10 mar 2008, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Jeśli (a,b)=1, to (a+b,a-b)=1 lub (a+b, a-b)=2
Może tak:
\(\displaystyle{ 2=2 (a,b) = 2 (b,a+b) qslant (2b, a+b)=(2b-a-b,a+b)=(b-a,a+b)=(a-b,a+b)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (a-b,a+b) qslant 2}\)
Po drodze skorzystałem z tożsamości \(\displaystyle{ k (x,y) qslant (k x,y)}\) oraz kilka razy z algorytmu Euklidesa.
\(\displaystyle{ 2=2 (a,b) = 2 (b,a+b) qslant (2b, a+b)=(2b-a-b,a+b)=(b-a,a+b)=(a-b,a+b)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (a-b,a+b) qslant 2}\)
Po drodze skorzystałem z tożsamości \(\displaystyle{ k (x,y) qslant (k x,y)}\) oraz kilka razy z algorytmu Euklidesa.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11464
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Jeśli (a,b)=1, to (a+b,a-b)=1 lub (a+b, a-b)=2
Jesli a+b=pm i a-b=pn, gdzie p jest l. pierwsza, Jesli p>2, to 2a=p(m+n) czyli p jest dzielnikiem a , a skoro jest tez dzielnikiem a+b, to p dzieli b . sprzecznosc