Udowodnij że

[andrzejskurcz]

prosze o pomoc z takimi zadaniami

1. Jeśli \(\displaystyle{ a+b+c=5\quad \mbox{i}\quad \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c}= \frac{12}{5}}\)

oblicz \(\displaystyle{ \frac{c}{a+b} + \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c}}\)



2. wykaz ze jesli \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) to \(\displaystyle{ ab+bc+ac qslant \frac{1}{3}}\)

pozdro

Niejednoznaczny zapis. Poprawiam. Calasilyar

[Sylwek]

1. Mnożymy \(\displaystyle{ a+b+c=5\quad \mbox{i}\quad \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c}= \frac{12}{5}}\) kolejno stronami przez a, b, c, następnie dodajemy 3 powstałe równości stronami, dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=\frac{12}{5}(a+b+c)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 3+ \frac{c}{a+b} + \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c}=\frac{12}{5} 5=12 \iff \frac{c}{a+b} + \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c}=9}\)



2. Z nierówności pomiędzy średnią kwadratową a arytmetyczną: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \frac{a+b+c}{3}}\) skorzystamy po drodze:

\(\displaystyle{ 1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \frac{(a+b+c)^2}{3} + 2(ab+bc+ca)=\frac{1}{3}+2(ab+bc+ca)}\)

Przekształcając:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} 2(ab+bc+ca) \\ \frac{1}{3} ab+bc+ca}\)