Suma dużych potęg

[Swistak]

Znajdź RÓŻNE liczby naturalne spełniające równość:
\(\displaystyle{ a^{100}+b^{100}=c^{101}}\).
Zadanie pochodzi z książki "Matematyka elementarna w zadaniach Tom I" Leva Kuryandchnika, jednak jest ono z testu i nie ma rozwiązania do niego .

[dabros]

co do tej książki, to odpowiedź jest na końcu drugiego tomu, ale rozwiązanie polega na zwyczajnym "zgadnięciu" rozwiązania (jak często u Lva); oto one:
\(\displaystyle{ a=2(2^{100}+3^{100}) \ b=3(2^{100}+3^{100}) \ c=2^{100}+3^{100}}\)
po sprawdzeniu okazuje się, że rzeczywiście takie jest rozwiązanie

[Swistak]

A fajnie wiedzieć .
Z całych tych 2 tomów zrobiłem 5 zadań z testu i 1 zadanie, z tych "właściwych zadań" xD (41, ale inaczej niż on to przedstawił ). Oczywiście dostajesz plusika .

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (4^{50} + 16^{50})^{101}= (4^{50} + 16^{50})(4^{50} + 16^{50})^{100}=4^{50}(4^{50} + 16^{50})^{100} + 16^{50}(4^{50} + 16^{50})^{100}}\)

[dabros]

no, oczywiście takich par można znaleźć duużo więcej...

[Swistak]

Uogólnienie:
Dla każdego \(\displaystyle{ x y}\) takich, że \(\displaystyle{ \sqrt[100]{x} \sqrt[100]{y} Z}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (x+y)^{101}=(x+y)(x+y)^{100}=x(x+y)^{100}+y(x+y)^{100)}\), gdzie \(\displaystyle{ \sqrt[101]{(x+y)^{101}} \sqrt[100]{x(x+y)^{100}} \sqrt[100]{y(x+y)^{100}} Z}\).
Nie jestem pewien, czy te symbole \(\displaystyle{ \wedge}\) są tu na miejscu i lepiej by to z kwantyfikatorami wyglądało, ale nie wiem jak się je robi (nie chce mi się szukać ), ale rozumiecie o co łazi . Nawet nie takie trudne na jakie wyglądało (przynajmniej mi ).

[mol_ksiazkowy]

mysle ze powiniwnes po prostu pisac: dla dowolnych x i y, takizh ze .... zachodzi ...etc ,

[Swistak]

No mogłem to trochę inaczej napisać i potęgi zamienić na n+1 i n, wtedy by to miało trochę wiekszy sens, ale mniejsza z tym .