Udowodnij

[wlodzimierz]

Nie wiem czy to dobry dział, ale zadanie jest takie:
wykaż, że iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych powiekszony o 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
czyli jeśli dobrze rozumiem n(n-1)(n+1)(n+2)=k^2 k, n są naturalne, n nie mniejesze niż 1

pomozcie:)

[*Kasia]

n(n-1)(n+1)(n+2)=k^2

\(\displaystyle{ n(n-1)(n+1)(n+2)+1}\)

[limes123]

A najwygodniej chyba jest to zapisać tak
\(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+n)(n^2+5n+6)+1=\\=
n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2=k^2}\)
gdzie
\(\displaystyle{ k=n^2+3n+1}\)

[Swistak]

Ja sobie ten iloczyn przedstawiłem zaczynając od n-2 i wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ (x-2)(x-1)x(x+1)=x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1=x^{4}-x^{3}-x^{2}-x^{3}+x^{2}+x-x^{2}+x+1=x^{2}(x^{2}-x-1)-x(x^{2}-x-1)-(x^{2}-x-1)=(x^{2}-x-1)(x^{2}-x-1)=(x^{2}-x-1)^{2}}\)
c.b.d.u.

[limes123]

Swistak,
Twoje rozwiązanie jest dobre, ale dla \(\displaystyle{ x\geq 3}\).

[wlodzimierz]

\(\displaystyle{ n^4+6n^3+11n^2+6n+1}\)

tez mi tak wyszlo, ale nie potrafilem tego zapisac jako kwadrat liczby naturalnej, jak to zrobiles? Poprostu widzisz takie rzeczy, czy jest jakas metoda, zeby to zobaczyc? Pzdr i dzieki

[limes123]

\(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=((n^2+3n+1)-1)((n^2+3n+1)+1)+1=(n^2+3n+1)^2-1^2+1=(n^2+3n+1)^2}\)
teraz to ładnie widać;]

[tkrass]

Swistak,
Twoje rozwiązanie jest dobre, ale dla \(\displaystyle{ x\geq 3}\).

co za problem, pozostałe przypadki można rozpisać ręcznie bo jest ich mało...

[limes123]

A po co sobie utrudniać zadanie?:P

[Wasilewski]

W rozwiązaniu Świstaka dla x = 3 mamy pierwszy przypadek i niczego nie trzeba dodatkowo rozpatrywać.

[Swistak]

1. Zazwyczaj się przyjmuje, że 0 jest naturalne, więc jeśli już to dla \(\displaystyle{ x\geqslant2}\), a nie 3.
2. To i tak nie robi najmniejszej różnicy, bo przecież dla x=2, to będzie iloczyn 4 najmniejszych liczb naturalnych i są uwzględnione WSZYSTKIE przypadki . Tu x nie jest najmniejszą liczbą, ale x-2 i wszystko się zgadza .

[limes123]

W tym przypadku to nie robi różnicy ale nie wiem czy częściej nie przyjmuje się, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną (przynajmniej w tego typu zadaniach).

[DEXiu]

Dlatego lepiej pisać "całkowita nieujemna/niedodatnia/ujemna/dodatnia" itp. Nie ma wtedy wątpliwości

[yorgin]

\(\displaystyle{ n^4+6n^3+11n^2+6n+1}\)

tez mi tak wyszlo, ale nie potrafilem tego zapisac jako kwadrat liczby naturalnej, jak to zrobiles? Poprostu widzisz takie rzeczy, czy jest jakas metoda, zeby to zobaczyc? Pzdr i dzieki

Odgadłem i sprawdziłem Nic trudnego współczynnik przy drugiej potędze i wyraz wolny to 1 brakuje tylko jednego współczynnika który musi być dodatni z racji że wielomian ma wszystkie współczynniki dodatnie. Podstawiając 3 wyszło mi co trzeba