Udowodnij
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 21 mar 2008, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Udowodnij
Nie wiem czy to dobry dział, ale zadanie jest takie:
wykaż, że iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych powiekszony o 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
czyli jeśli dobrze rozumiem n(n-1)(n+1)(n+2)=k^2 k, n są naturalne, n nie mniejesze niż 1
pomozcie:)
wykaż, że iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych powiekszony o 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
czyli jeśli dobrze rozumiem n(n-1)(n+1)(n+2)=k^2 k, n są naturalne, n nie mniejesze niż 1
pomozcie:)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Udowodnij
\(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+n)(n^2+5n+6)+1=\\=
n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2=k^2}\)
gdzie
\(\displaystyle{ k=n^2+3n+1}\)
n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2=k^2}\)
gdzie
\(\displaystyle{ k=n^2+3n+1}\)
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
Udowodnij
Ja sobie ten iloczyn przedstawiłem zaczynając od n-2 i wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ (x-2)(x-1)x(x+1)=x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1=x^{4}-x^{3}-x^{2}-x^{3}+x^{2}+x-x^{2}+x+1=x^{2}(x^{2}-x-1)-x(x^{2}-x-1)-(x^{2}-x-1)=(x^{2}-x-1)(x^{2}-x-1)=(x^{2}-x-1)^{2}}\)
c.b.d.u.
\(\displaystyle{ (x-2)(x-1)x(x+1)=x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1=x^{4}-x^{3}-x^{2}-x^{3}+x^{2}+x-x^{2}+x+1=x^{2}(x^{2}-x-1)-x(x^{2}-x-1)-(x^{2}-x-1)=(x^{2}-x-1)(x^{2}-x-1)=(x^{2}-x-1)^{2}}\)
c.b.d.u.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 21 mar 2008, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Udowodnij
tez mi tak wyszlo, ale nie potrafilem tego zapisac jako kwadrat liczby naturalnej, jak to zrobiles? Poprostu widzisz takie rzeczy, czy jest jakas metoda, zeby to zobaczyc? Pzdr i dziekiyorgin pisze:\(\displaystyle{ n^4+6n^3+11n^2+6n+1}\)
- tkrass
- Użytkownik
- Posty: 1464
- Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 186 razy
Udowodnij
co za problem, pozostałe przypadki można rozpisać ręcznie bo jest ich mało...limes123 pisze:Swistak,
Twoje rozwiązanie jest dobre, ale dla \(\displaystyle{ x\geq 3}\).
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
Udowodnij
1. Zazwyczaj się przyjmuje, że 0 jest naturalne, więc jeśli już to dla \(\displaystyle{ x\geqslant2}\), a nie 3.
2. To i tak nie robi najmniejszej różnicy, bo przecież dla x=2, to będzie iloczyn 4 najmniejszych liczb naturalnych i są uwzględnione WSZYSTKIE przypadki . Tu x nie jest najmniejszą liczbą, ale x-2 i wszystko się zgadza .
2. To i tak nie robi najmniejszej różnicy, bo przecież dla x=2, to będzie iloczyn 4 najmniejszych liczb naturalnych i są uwzględnione WSZYSTKIE przypadki . Tu x nie jest najmniejszą liczbą, ale x-2 i wszystko się zgadza .
- limes123
- Użytkownik
- Posty: 666
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ustroń
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 93 razy
Udowodnij
W tym przypadku to nie robi różnicy ale nie wiem czy częściej nie przyjmuje się, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną (przynajmniej w tego typu zadaniach).
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Udowodnij
Odgadłem i sprawdziłem Nic trudnego współczynnik przy drugiej potędze i wyraz wolny to 1 brakuje tylko jednego współczynnika który musi być dodatni z racji że wielomian ma wszystkie współczynniki dodatnie. Podstawiając 3 wyszło mi co trzebawlodzimierz pisze:tez mi tak wyszlo, ale nie potrafilem tego zapisac jako kwadrat liczby naturalnej, jak to zrobiles? Poprostu widzisz takie rzeczy, czy jest jakas metoda, zeby to zobaczyc? Pzdr i dziekiyorgin pisze:\(\displaystyle{ n^4+6n^3+11n^2+6n+1}\)