Czy liczba jest kwadratem innej liczby??

[Artist]

Czy liczba \(\displaystyle{ 444...4}\), w której cyfra \(\displaystyle{ 4}\) powtarza się 2004 razy jest kwadratem liczby naturalnej.

Nie wiem czy dobry dział, bo to mój pierwszy temat i nie za bardzo orientuje sie gdzie to mogłoby byc.
Jeśli zły to serdecznie przepraszam moderatorów.

[limes123]

Dowód nie wprost.
Założmy, że
\(\displaystyle{ 4444...444=k^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in Z}\)
widzimy, że ponieważ liczba po lewej stronie równości jest podzielna przez 2, to również k jest liczbą podzielną przez 2. Mamy więc
\(\displaystyle{ 444...44=4l^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l\in Z}\). Z tej równości wynika, iż
\(\displaystyle{ 111...11=l^2}\) a to jest oczywiście sprzecznością, ponieważ liczba po lewej stronie równości daje resztę 3 przy dzieleniu przez 4 a co za tym idzie nie może być kwadratem liczby całkowitej.
Taki dowód można przeprowadzić dla dowolnej liczby czwórek w tej liczbie.

[DEXiu]

Taki dowód można przeprowadzić dla dowolnej liczby czwórek w tej liczbie.

... za wyjątkiem jednej czwórki

[limes123]

Racja