Ile rozwiązań całkowitych?

[enigm32]

Ile istneiej rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych tego równania:?
\(\displaystyle{ |x+y^2|+|x-y^2|+|y+x^2|+|y-x^2|=1984}\)

[ Dodano: 21 Marca 2008, 16:13 ]
Równanie jest symetryczne, zatem możemy założyć, że \(\displaystyle{ x \leqslant y(*)}\) (w odpowiedzi podamy wszystkie permutacje uzyskanych przy tym założeniu rozwiązań)
Podstawmy: \(\displaystyle{ y=xt,t \in \RR}\)
\(\displaystyle{ L=|x+x^2t^2|+|x-x^2t^2|+|xt+x^2|+|xt-x^2|=|x|(|1+xt^2|+|1-xt^2|+|t+x|+|t-x|)}\)
(na mocy warunku (*), mamy: \(\displaystyle{ \begin{cases} x>0 \Rightarrow t \geqslant 1\\x0\\t \geqslant 1\\x \geqslant t \end{cases}}\))
Teraz rozpatrujemy kolejne przypadki:
Ia
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0\\t\geqslant 1\\x \geqslant t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L=2x^2(t^2+1)}\)
Ib
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0\\t\geqslant 1\\x < t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L=2xt(xt+1)}\)
IIa
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\leqslant -1\\x\geqslant t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L=2tx(xt+1)}\)
IIb
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\leqslant -1\\x< t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L=2x^2(t^2+1)}\)
III
\(\displaystyle{ x=0}\) - otrzymujemy sprzeczność

Czyli po połączeniu przypadków mielibyśmy:
Gdy \(\displaystyle{ x \geqslant t\geqslant 1 \vee (x \leqslant -1\land x<t)}\) to \(\displaystyle{ 2x^2(t^2+1)=1984}\) (tutaj t musi być całkowite, ponieważ x należy do całkowitych z założenia zadania)
Gdy \(\displaystyle{ t>x \geqslant 1 \vee t \leqslant x \leqslant -1}\), to \(\displaystyle{ \begin{cases} 2tx(xt+1)=1984 t^2x^2+tx-992=0\\ x_1=\frac{-t-63|t|}{2t^2}\\x_2=\frac{-t+63|t|}{2t^2} \end{cases}}\)

[arek1357]

ale założyłeś że x|y

[enigm32]

ale założyłeś że x|y

Co to znaczy? "x dzieli y"? Bo takiego czegoś nie zakładałem

[arek1357]

jK TO nie na samym początku zapisałeś że: y=xt

a co to innego oznacza???

[enigm32]

No masz rację, w takim razie to jest źle. Już to zmieniam, tam ma być oczywiście \(\displaystyle{ t \in R}\), tylko teraz tzreba się zastanowić, czy tak można dalej rozwiązać to zadanie. A te dwie odpwoiedzi sa poprawne, tylko że nie jeeyne teraz. Dzięki za to spostrzeżenie.

[przemk20]

zauwaz, ze mozesz zalozyc
\(\displaystyle{ x\geq y \geq 0}\)

[enigm32]

Dlaczego tak?

[ Dodano: 22 Marca 2008, 13:58 ]
Gdy \(\displaystyle{ x⩾t⩾1∨(x⩽−1∧x<t)}\), to \(\displaystyle{ 2x^2(t^2+1)=1984}\) (tutaj t musi być całkowite, ponieważ x należy do całkowitych z założenia zadania)
Gdy \(\displaystyle{ t>x \geqslant 1 \vee t \leqslant x \leqslant -1}\), to \(\displaystyle{ \begin{cases} 2tx(xt+1)=1984 \Leftrightarrow t^2x^2+tx-992=0\\ x_1=\frac{-t-63|t|}{2t^2}\\x_2=\frac{-t+63|t|}{2t^2}\end{cases}}\)

Zagadz się teraz wszystko?

[ Dodano: 22 Marca 2008, 14:13 ]
Tutaj pod koniec lepiej wręcz wrócić do podstawinie i mamy w jednym przypadku \(\displaystyle{ 2y^2+2x^2=1984}\) a w drugim \(\displaystyle{ 2y^2+2y=1984}\)

[przemk20]

a no bo stosujac podstawieni \(\displaystyle{ x_1=-x}\) dostajesz rownanie rownowazne wyjsciowemu