Kilka zadań

[luciasz]

Muszę do szkoły po świętach zrobić parę zadań... Nie umiem nic z matmy jestem kompletna noga a już trochę jedynek się nazbierało... Mam nadzieję, że nie pomyliłem działu
Może te zadania nie są za trudne ale ja ich rozwiązać nie umiem ;/

Zad. 1
Oblicz NWD liczb 442 i 2431

Zad. 2
Oblicz NWW liczb 1008 i 480

Zad. 3
Ułamki okresowe zapisz w postaci ułamka zwykłego
a) 1,(6)
b) 0,(571428)

Zad. 4
Przekształć na iloczyny
a) \(\displaystyle{ 2a-4a^{n+1}}\)
b) \(\displaystyle{ 5x^{n+1}+10x^{n+2}+5x^{n+3}}\)

Zad. 5
Wykaż, że liczba przedstawiona w poniższej postaci jest podzielna przez 5

\(\displaystyle{ 2^{16}+2^{15}+2^{12}}\)

Zad. 6
Jaką cyfrę w rzędzie jedności ma każda z podanych liczb
a) \(\displaystyle{ 2^{49}}\)
b) \(\displaystyle{ 5^{138}}\)
c) \(\displaystyle{ 7^{63}}\)

Zad. 7
Zapisz n-tą potęgę pierwiastka m-tego stopnia i n-tej potęgi liczby.

Z góry dziękuje

[qazwsx5]

zad 2
1008 480 |2
504 240 |2
252 120 |2
126 60 |2
63 30 |2
63 15 |3 (bo przez 2 już się żadna nie dzieli)
21 5 |3
7 5 |5
7 1 |7
1 1

mnożysz to wszysko będące po prawej stronie kreski

\(\displaystyle{ 2^{5} 3 ^{5} 5 7 = 10080}\)

[yorgin]

1.
\(\displaystyle{ 442=2\cdot 13\cdot 17\\
2431=13\cdot 17 11\\
NWD(442,2431)=13\cdot 17=221\\
\\

2.\\
480=2^5\cdot 3\cdot 5\\
1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7\\
NWD(480,1008)=2^4\cdot 3 =48\\
NWW=\frac{1008\cdot 480}{48}=10080 \\
3.\\
a=1,(6)=1+x\\
x=0,(6)\\
10x=6,(6)\\
9x=6\\
x=\frac{6}{9}\\
a=1+\frac{6}{9}=\frac{15}{9}\\
\\
4.\\
2a-4a^{n-1}=2a(1-2a^{n-2})}\)
Można to jeszcze rozpisać ze wzoru \(\displaystyle{ (1-x^n)=(1-x)(1+x+x^2+\ldots +a^{n-1})}\) gdzie \(\displaystyle{ x=\sqrt[n]{2}}\)
\(\displaystyle{ 5x^{n+1}+10x^{n+2}+5x^{n+3}=5x^{n+1}(1+2x+x^2)=5x^{n+1}(x+1)^2\\
\\
5.\\
2^{16}+2^{15}+2^{12}=2^{12}(2^4+2^3+1)=2^{12}\cdot 25= 5\cdot 5\cdot 2^{12}}\)
Stąd podzelność przez 5
\(\displaystyle{ 7.\\
(\sqrt[m]{a^{n}})^n
\\}\)

Jeszcze 6.
Mamy:
\(\displaystyle{ 2^1=2\\
2^2=4\\
2^3=8\\
2^4=16\\
2^5=32\\
2^6=64\\}\) itd.
Widzimy że ostanie cyfry powtarzają się w sekwencji \(\displaystyle{ 2,4,8,6}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ 2^49}\) ma taką samą ostanią cyfrę jak \(\displaystyle{ 2^1}\) (dzielisz wykładnik z resztą przez 4, reszta to 1)
Czyli cyfra jedności \(\displaystyle{ 2^49}\) to 1
Podobnie pozostałe:
\(\displaystyle{ 5^{138}}\):
Tu każda potęga 5 ma cyfrę jedności 5, więc nie ma co liczyć.

\(\displaystyle{ 7^63}\)
Tu sekwencja będzie taka: \(\displaystyle{ 7,9,3,1}\) więc znowu dzielimy wykładnik z resztą przez 4 i mamy resztę 3. Czyli \(\displaystyle{ 7^63}\) ma taką samą cyfrę jedności co \(\displaystyle{ 7^3=343}\)

[Sig]

4.a)\(\displaystyle{ 2a(1-2a^{n-2})}\)
\(\displaystyle{ b)5x^{n}(x+2x^{2}+x^{3})}\)
5.\(\displaystyle{ 2^{2}\equiv-1(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{16}\equiv1(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{15}\equiv-2(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{12}\equiv1(mod5)}\)
dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ 2^{16}+2^{15}+2^{12}\equiv0(mod5)}\), a więc:\(\displaystyle{ 5|2^{16}+2^{15}+2^{12}.}\)
Koniec dowodu.

[qazwsx5]

\(\displaystyle{ 2.\\
480=2^5\cdot 3\cdot 5\\
1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7\\
NWW(480,1008)=2^4\cdot 3 =48\\ \\}\)

yorgin, jak NWW - Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb może być od nich mniejsza ?

[adner]

zad. 6
Nie wiem, czy to o takie rozwiązanie chodziło, ale trudno

2 = 2 do 1.
2*2 = 4 do 2.
4*2 = 8 do 3.
8*2 = 16 do 4.
16*2 = 32 do 5.
32*2 = 64 do 6.
64*2 = 128 do 7.
Zmienia się to okresowo, a więc 7,10,13,16..49ta potęga będzie kończyć się "8".

Do każdej potęgi o wykładniku naturalnym różnym od 0 liczba 5 będzie kończyć się "5".

W trzecim przykładzie jest taka sama sytuacja, tylko powtarzają się jedności:
7
9
3
1
7 ....
a więc 1,5,9,13...61a potęga będzie kończyć się "7", a więc 63cia na 3.

Olaboga, ale ja głupie błędy robię, dzięki za zauważenie.

[yorgin]

\(\displaystyle{ 2.\\
480=2^5\cdot 3\cdot 5\\
1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7\\
NWW(480,1008)=2^4\cdot 3 =48\\ \\}\)

yorgin, jak NWW - Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb może być od nich mniejsza ?

Racja z rozpędu policzyłem NWW Poprawione

adner drobna pomyłka w Twoich obliczeniach. 61. potęga liczby 7 ma ostania cyfrę 1 nie 63
i \(\displaystyle{ 2^7=128\ \mbox{nie}\ 126}\)