Wykazać, że a jest liczbą pierwszą

[kluczyk]

Dana liczba jest pierwsza \(\displaystyle{ 2^{a} -1}\) . Wykazać, że a pierwsza.

[dabros]

chyba powinno się udać z pomocą MTF (Małe Twierdzenie Fermata)
nie będę psuł zabawy, choć nie jestem do końca przekonany o mojej racji...)

[yorgin]

Jeśli \(\displaystyle{ a}\) nie jest pierwsza to \(\displaystyle{ a=s\cdot r\quad s,r\in \mathbb{N}\quad s,r>1}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 2^a-1=2^{sr}-1=(2^s-1)(1+(2^s)^1+(2^{s})^2+\ldots +(2^{s})^{r-1})}\)
więc wtedy \(\displaystyle{ 2^a-1}\) nie jest pierwsza (bo oba czynniki są różne od 1) Sprzeczność kończy dowód.

[kluczyk]

Wtedy:
\(\displaystyle{ 2^{sr}-1=(2^s-1)(1+(2^s)^1+(2^{s})^2+\ldots +(2^{s})^{r-1})}\)

Hmm... a to skąd?

[yorgin]

Wtedy:
\(\displaystyle{ 2^{sr}-1=(2^s-1)(1+(2^s)^1+(2^{s})^2+\ldots +(2^{s})^{r-1})}\)

Hmm... a to skąd?

Ze wzoru
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+\ldots +a^1b^{n-2}+b^{n-1})\\
a=2^s\\
b=1}\)

[DEXiu]

Albo ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego (wystarczy podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ 2^{s}-1}\) i będzie widać wprost)