kwadrat o sumie cyfr

dabros · Post autor: **dabros** » 18 mar 2008, o 21:51

czy liczba o sumie cyfr 43 może być kwadratem liczby naturalnej?
jeżeli tak/nie, to dlaczego?

*Kasia · Post autor: *Kasia » 18 mar 2008, o 22:05

A czy liczba dająca resztę 7 przy dzieleniu przez 9 może być kwadratem liczby naturalnej.

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 18 mar 2008, o 22:07

Kasia, a czemu nie, np. \(\displaystyle{ 4^2=16 \equiv 7 \ (mod 9)}\)? Na pierwszy rzut oka nie widzę żadnych przeciwwskazań istnienia takiej liczby

Przykład (z pomocą komputera ): \(\displaystyle{ 9373^2=87853129}\)

*Kasia · Post autor: *Kasia » 18 mar 2008, o 22:15

Sylwek, dla mnie to jest jedyne możliwe przeciwwskazanie, ale nie chciało mi się liczyć. Jeśli może być, to taka liczba pewnie istnieje.

MagdaW · Post autor: **MagdaW** » 31 mar 2008, o 18:56

Ale jak to wykazać bez szukania takiej liczby?

dabros · Post autor: **dabros** » 31 mar 2008, o 19:15

już wiem: kwadrat liczby przystaje tylko do pewnych liczb modulo 9, co jest w sprzeczności z podzielnością 43 przez 3; podobnie ma się sprawa z sześcianem, tj.
\(\displaystyle{ n=k^2 \\
k=i(mod \ 9) \ \ \ i\in \{0,1,4,5,9\}\\
43=7(mod \ 9)}\)
sprzeczność! podobnie z sześcianem

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 31 mar 2008, o 19:24

7 może być resztą kwadratową modulo 9, co pokazał Sylwek na przykładzie 16, weźmy:
\(\displaystyle{ k \equiv 4 (mod \ 9) \\
k^2 \equiv 16 \equiv 7 (mod \ 9)}\)

Ciamolek · Post autor: **Ciamolek** » 31 mar 2008, o 20:45

sprzeczność! podobnie z sześcianem

Zważywszy na przykład Sylwka - raczej nie sprzeczność.

MagdaW · Post autor: **MagdaW** » 1 kwie 2008, o 22:25

Suma cyfr kwadratu liczby naturalnej może dawać reszty 0, 1, 4, 7 przy dzieleniu przez 9.
Liczba 43 przy dzieleniu przez 9 daje resztę 7, zatem może być kwadratem liczby naturalnej.
Nie wiem, jak to dokładniej uzasadnić i czy to jest w ogóle dobrze...