Układ n równań + wartość bezwzględna

[enigm32]

Rozwiązać nasępujący układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} |x_1|+x_2=1\\ |x_2|+x_3=1\\ |x_3| +x_4=1\\.\\.\\.\\|x_n|-x_1=1\end{cases}}\)
, gdzie n jest nieparzystą liczbą naturalną

[Sylwek]

Jak to mamy rozumieć? W n-1 równościach jest suma, a tylko w ostatniej różnica, czy może źle przepisałeś treść zadania?

[enigm32]

Przepisałem identycznie jak jest w zbiorze, ale sądzę, że minus jest tylko w ostatnim równaniu.

[Sylwek]

No to tak: \(\displaystyle{ a=-x_1}\), wtedy układ prezentuje się tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} |a|+x_2=1\\ |x_2|+x_3=1\\ |x_3| +x_4=1\\.\\.\\.\\|x_n|+a=1\end{cases}}\)

Zauważamy, że żadna z liczb \(\displaystyle{ a,x_2,x_3,\ldots,x_n}\) nie może przekraczać 1 (chyba wiadomo dlaczego ). Jak widzimy mamy układ cykliczny, więc bez straty ogólności możemy przyjąć, że pewien element jest najmniejszy, dla ustalenia uwagi, niech będzie to \(\displaystyle{ x_2}\).

Teraz załóżmy, że \(\displaystyle{ x_21}\), ale że żadna z liczb \(\displaystyle{ a, x_2, x_3, \ldots, x_n}\) nie może przekraczać 1, to \(\displaystyle{ |a|=-a}\), zatem:
\(\displaystyle{ -a=1-x_2 \\ a=x_2-1}\)

No ale: \(\displaystyle{ a=x_2-1 0}\), a że \(\displaystyle{ x_2}\) jest najmniejszy, to wszystkie zmienne: \(\displaystyle{ a, x_2, x_3, \ldots, x_n}\) są dodatnie. Zatem układ prezentuje się tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+x_2=1\\ x_2+x_3=1\\ x_3 +x_4=1\\.\\.\\.\\x_n+a=1\end{cases}}\)

Teraz to już banał pokazać, że \(\displaystyle{ -x_1=a=x_2=\ldots=x_n=\frac{1}{2}}\)