wiemy że \(\displaystyle{ z = - (x+y)}\)
udowodnij:
\(\displaystyle{ \frac{xy}{z} + \frac{zx}{y} + \frac{zy}{x} + \frac{3}{xyz} > 6}\)
Instrukcja LaTeX-a - wpisywanie wyrażeń matematycznych
Sylwek
nierówność
-
King James
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 19 kwie 2007, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biłgoraj/Kraków
- Pomógł: 39 razy
nierówność
Tak dana nierówność jest sprzeczna, jednakże dokładając założenie \(\displaystyle{ xyz>0}\) mamy prawdziwą nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} + \frac{3}{xyz} 6}\)
\(\displaystyle{ \iff}\)
\(\displaystyle{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3 6xyz}\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ a^2b^2-2abc+1=(ab-c+1)^2-(c^2+2ab-2c)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3-6xyz=(xy-z+1)^2+(yz-x+1)^2+(zx-y+1)^2}\)
\(\displaystyle{ -(x+y+z)^2+2(x+y+z)=(xy-z+1)^2+(yz-x+1)^2+(zx-y+1)^2 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} + \frac{3}{xyz} 6}\)
\(\displaystyle{ \iff}\)
\(\displaystyle{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3 6xyz}\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ a^2b^2-2abc+1=(ab-c+1)^2-(c^2+2ab-2c)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3-6xyz=(xy-z+1)^2+(yz-x+1)^2+(zx-y+1)^2}\)
\(\displaystyle{ -(x+y+z)^2+2(x+y+z)=(xy-z+1)^2+(yz-x+1)^2+(zx-y+1)^2 0}\)