Podzielność a do danej potęgi przez liczbę pierwszą p.

[wojciech0404]

witam,

mam mało zadanko do rozwiązania... był bym wdzięczny za każdą pomoc...

treść zadania:

Niech a i b będą liczbami całkowitymi, a p liczbą pierwszą. Zbadaj prawdziwość poniższych zdań, odpowiedź uzasadnij.
a) Jeśli \(\displaystyle{ p|a^{11}}\), to p|a;
b) Jeśli p|a i \(\displaystyle{ p| a^{2} + b^{2}}\), to p|b;
c) Jeśli \(\displaystyle{ p| a^{9}+a^{17}}\), to p|a.

[ Dodano: 11 Marca 2008, 20:25 ]
co myślicie o moim pomyśle odnośnie pierwszego podpunktu... a więc:

weźmy p>a i takie, że \(\displaystyle{ p|a^{11} \ p|a \not\in \mathbb{Z}}\)

Jedno wyrażenie - jedne klamry nad całością. Kasia

[Piotr Rutkowski]

a)przedstaw sobie a jako iloczyn liczb pierwszych i zauważ, że dowolna jej potęga zmienia w tym rozkładzie jedynie wykładniki potęg, zatem jeśli w rozkładzie a na czynniki pierwsze nie ma p, to także nie będzie jej w \(\displaystyle{ a^{11}}\)
b)Zauważ, że \(\displaystyle{ ((p|a)\wedge (p|a^{2}+b^{2}))\iff (p|b^{2})}\)
i z poprzedniego zadania \(\displaystyle{ (p|b^{2})\Rightarrow (p|b)}\)
c) nieprawda, np. weź \(\displaystyle{ p=2}\) oraz \(\displaystyle{ a=1}\)

[DEXiu]

co myślicie o moim pomyśle odnośnie pierwszego podpunktu... a więc:

weźmy p>a i takie, że \(\displaystyle{ p|a^{11}}\)

Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy z praw logiki jeśli poprzednik implikacji jest fałszywy, to implikacja jest zawsze prawdziwa
A mówiąc wprost: problem w tym, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ p>a}\), że \(\displaystyle{ p|a^{11}}\) więc nijak nie możemy go wziąć