Ostatnio spotkałem się z dość ciekawym zadaniem.
Mamy daną naturalną liczbę n oznaczającą ilość sposobów przedstawienia pewnej liczby x� za pomocą sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych. Liczba x również jest naturalna. Należy wyznaczyć x oraz wszystkie n par liczb naturalnych spełniających wspomnianą zależność.
Dla przykładu:
gdy n=1, to x = 5, a para liczb naturalnych to: 3 i 4 (3� + 4� = 5�)
Inny przykład:
gdy n=2, to x = 25, a dwie odpowiednie pary liczb naturalnych to:
7 i 24 (7� + 24� = 25�)
15 i 20 (15� + 20� = 25�)
Co o tym myślicie?
Teorioliczbowy Pitagoras
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Teorioliczbowy Pitagoras
Podstawowa sprawa, czyli wzory na wszystkie tzw. trójki pitagorejskie:
Kiedy m, n i l należą do naturalnych, to, gdy x, y są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a z jego przeciwprostokątną i liczby x, y i z również należa do naturalnych, to mamy następujące wzory:
\(\displaystyle{ x = (m^{2}-n^{2})\cdot l, y = 2mnl, z = (m^{2}+n^{2})\cdot l}\)
które wyznaczają wszystkie liczby naturalne spełniające równanie Pitagorasa.
Teraz podkładając to pod nasze zadanie, wychodzi, że szukamy wszystkich takich m, n i l, by podana zależność była spełniona. Bardzo to interesujące. A od siebie dodam jeszcze tyle, że gdy z jest liczbą pierwszą, to istnieje tylko jeden taki rozkład, może też nie być takie rozkładu, a takich liczb z jest nieskończenie wiele
Kiedy m, n i l należą do naturalnych, to, gdy x, y są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a z jego przeciwprostokątną i liczby x, y i z również należa do naturalnych, to mamy następujące wzory:
\(\displaystyle{ x = (m^{2}-n^{2})\cdot l, y = 2mnl, z = (m^{2}+n^{2})\cdot l}\)
które wyznaczają wszystkie liczby naturalne spełniające równanie Pitagorasa.
Teraz podkładając to pod nasze zadanie, wychodzi, że szukamy wszystkich takich m, n i l, by podana zależność była spełniona. Bardzo to interesujące. A od siebie dodam jeszcze tyle, że gdy z jest liczbą pierwszą, to istnieje tylko jeden taki rozkład, może też nie być takie rozkładu, a takich liczb z jest nieskończenie wiele
