dwumian newtona

[szablewskil]

Jak dowiesc tozsamosc:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} ({n \choose k})^{2}= {2n \choose n}}\)

[King James]

\(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}}\)

Odczytaj współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) na dwa sposoby.

[szablewskil]

na dwa sposoby, to znaczy?

[King James]

\(\displaystyle{ f(x)=({n \choose 0}+{n \choose 1}x+...+{n \choose n}x^n)({n \choose 0}x^n+{n \choose 1}x^{n-1}+...+{n \choose n})=(1+x)^{2n}}\)

Z jednej strony wynosi \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} ^{2}}\), a z drugiej \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\), skąd wynika dana tożsamość.

[szablewskil]

A z jakiej strony jest \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\) bo nie widze ;/

[ Dodano: 6 Marca 2008, 19:23 ]

A z jakiej strony jest \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\) bo nie widze ;/

Juz rozumiem, dzieki

[mol_ksiazkowy]

eh no a zdaje sie kombinatoryczny kontekst wzoru, to liczba trajektorii miedzy przeciwległymi wierzcholkami kwadratu o boku n i tylko po punktach kratowych po drodze