Wykaż, że dla dowolnej liczby n można znaleźć liczbę...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

Wykaż, że dla dowolnej liczby n można znaleźć liczbę...

Post autor: kluczyk »

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n można znaleźć liczbę zapisaną jedynie przy pomocy czwórek i zer, która dzieli się przez n.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Wykaż, że dla dowolnej liczby n można znaleźć liczbę...

Post autor: Piotr Rutkowski »

Łatwo podejść z Dirichleta. Dla liczby \(\displaystyle{ n}\) rozpatrzmy zbiór \(\displaystyle{ n+1}\) liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ A=\{4,44,444,...,\underbrace{44...4}_{n+1}\}=\{a_{1},a_{2},...,a_{n+1}\}}\)
Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że \(\displaystyle{ \exists_{i,j\in \{1,2,...,n+1\}} \ a_{i}(modn)=a_{j}(modn)}\) łatwo zatem zauważyć, że liczba \(\displaystyle{ x=a_{i}-a_{j}}\) spełnia warunki zadania
ODPOWIEDZ