Wykaż, że liczba jest kwadratem liczby naturalnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 4 razy
Wykaż, że liczba jest kwadratem liczby naturalnej.
Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n, liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{9}(100 ^{n+1}+4 10^{n+1}+4)}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Nie potrafię poradzić sobie z tym zadaniem:(za każdą podpowiedź dziękuje z góry;)
Ostatnio zmieniony 3 mar 2008, o 22:45 przez Maciek1234, łącznie zmieniany 1 raz.
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Wykaż, że liczba jest kwadratem liczby naturalnej.
Zauwazmy, ze:
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}(100^{n+1}+4\cdot 10^{n+1}+4)=\frac{1}{9}(10^{n+1}+2)^{2}=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^{2}}\)
Nastepnie wykazemy, ze wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}+2}{3}}\) jest liczba naturalna.
I tutaj dwie drogi : albo kongruencje albo tez indukcja.
Rozwazmy kongruencje:
\(\displaystyle{ 10^{n+1}+2 \equiv ?? \mod{3}}\)
Otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ 10^{n+1}+2 \equiv 0 \mod{3}}\) zatem powyzsze wyrazenie jest liczba naturalna dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{ N}}\)
A jezeli nie kongruencje to wystarczy wykazac indukcyjnie, ze :
\(\displaystyle{ 3|10^{n+1}+2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}(100^{n+1}+4\cdot 10^{n+1}+4)=\frac{1}{9}(10^{n+1}+2)^{2}=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^{2}}\)
Nastepnie wykazemy, ze wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}+2}{3}}\) jest liczba naturalna.
I tutaj dwie drogi : albo kongruencje albo tez indukcja.
Rozwazmy kongruencje:
\(\displaystyle{ 10^{n+1}+2 \equiv ?? \mod{3}}\)
Otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ 10^{n+1}+2 \equiv 0 \mod{3}}\) zatem powyzsze wyrazenie jest liczba naturalna dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{ N}}\)
A jezeli nie kongruencje to wystarczy wykazac indukcyjnie, ze :
\(\displaystyle{ 3|10^{n+1}+2}\)
Ostatnio zmieniony 3 mar 2008, o 23:15 przez kuch2r, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że liczba jest kwadratem liczby naturalnej.
To zadanie było kilka razy, a żądaną podzielność można wykazać z elementarnego kryterium podzielności przez 3, tzn. z tego, że suma cyfr jest podzielna przez 3. Można też po prostu napisać, że liczba w nawiasie jest równa \(\displaystyle{ 66...67}\).
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 4 razy