Z konkursu dla nauczycieli

[haszdagiet]

Sprawdź czy liczba

\(\displaystyle{ \frac{1^{1992}+2^{1993}+3^{1994}}{1+2+3}}\)

jest całkowita oraz wyznacz liczbę jej cyfr.

Nigdy nie interesowałem się za bardzo teoria liczb (mój błąd) i niestety nie za bardzo wiem jak do tego podejść. Kongruencje? Małe twierdzenie fermata? Ilość liczb jako \(\displaystyle{ 1+[\frac{logn}{log10}]}\) ? Prosiłbym o pomoc i wskazówki.

[DEXiu]

Kongruencje

[arek1357]

Wystarczy udowodnić że

\(\displaystyle{ 3| 1+ 2^{1993}}\)

bo że ta liczba jest parzysta to widać

[ Dodano: 29 Lutego 2008, 13:10 ]
a ten dowód kilkakrotnie z fermata i widaz że jest podzielne

[bosz]

A gdyby tak policzyc

\(\displaystyle{ 2^{1993} mod 3}\)
\(\displaystyle{ 2^2 mod 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^{1993}=2*2^{1998}= 2 mod 3}\)

\(\displaystyle{ 1+2 = 0 mod 3}\)

i to by bylo na tyle...

[haszdagiet]

Ogólnie arek ma racje, dalej nie korzystam z fermata tylko z własności kongruencji
\(\displaystyle{ 2=-1(mod3)\\
2^{1993}=-1^{1993}(mod3)\\
2^{1993}+1=0(mod3)}\)

Wpadłem na to sam, ale ciesze się i dzięki! za zaangażowanie i pomoc. Teraz tylko myślę nad liczbą cyfr

[przemk20]

no to wystarczy wyznaczyc liczbe cyfr liczby
\(\displaystyle{ [\frac{1}{2} 3^{1993}]}\)

[haszdagiet]

Zgadzam sie ze byłoby to łatwe, ale skąd taki wniosek?

// juz wiem. proste oszacowanie rzedu wielkosci, czyli zadanie rozwiazane. Dzieki wszystkim!

[przemk20]

heh a moglbys pokazac jak liczysz liczbe cyfr tej liczby....??

[haszdagiet]

Jeżeli n ma jedna cyfre to:

\(\displaystyle{ n n logn < log100}\)
\(\displaystyle{ 1 logn < 2}\)

czyli \(\displaystyle{ [logn]=1}\), stąd ilość cyfr dowolnej liczby to

\(\displaystyle{ [logn]+1}\)