udowodnij,ze...

[dyzzio]

dla jakich liczb calkowitych a liczba \(\displaystyle{ \frac{a^3-2a^2+3}{a^2-2a}}\) jest takze liczba calkowita??

[robert9000]

\(\displaystyle{ \frac{a^{3}+a^{2}-3a^{2}+3}{a(a-2)}= \frac{a^{2}(a+1)-3(a^{2}-1)}{a(a-2)} = \frac{a^{2}(a+1)-3(a+1)(a-1)}{a(a-2)}=\frac{(a+1)(a^{2}-3a+3)}{a(a-2)}}\)

jak widać, nic się nie skróci, więc jedyne możliwość, żeby wynik był całkowity, to:

\(\displaystyle{ a(a-2)=1}\)
\(\displaystyle{ a(a-2)=-1}\)
\(\displaystyle{ (a+1)(a^{2}-3a+3)=0}\)

oczywiście pamietajmy, że \(\displaystyle{ a 0 a 2}\)

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ \frac{a^3-2a^2+3}{a^2-2a}=a+\frac{3}{a(a-2)}\ \ a(a-2)=\pm 1,\pm 3}\)

I sprawdzasz...

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{a^3-2a^2+3}{a^2-2a}= a + \frac{3}{a^2-2a}}\)
W szczególności oznacza to, że \(\displaystyle{ a}\) musi być dzielnikiem trójki, czyli \(\displaystyle{ a \{-3,-1,1,3 \}}\). Ręcznie sprawdzamy, że zgadza się tylko dla \(\displaystyle{ -1,1,3}\), są to więc jedyne rozwiązania.

Q.

[bosz]

tak niesmialo chcialem zauwazyc ze rowniez a-2 musi byc dzielnikiem 3
co wylkucza -3, a poniewaz dzielniki trojki rworza ciag arytmetyczny o roznicy 2 wiec ... tylko to jest dosprawdzenia..

[Qń]

Owszem, można także w ten sposób - ale mój sposób chyba szybszy i mniej w nim pisania.

Q.

[bosz]

No.. twoj tez jest dobry.. i szybki.. i nic mu nieujmujac..

tak dodalem tylko bo niektorzy lubia jak jest jak najmniej "recznego sprawdzania"
popatrz.. a jest wsrod dzielnikow trojki..

masz juz dzielniki trojki wypisane

-3 -1 1 3

odejmujesz od nich 2

-5 -3 -1 3

i widac co sie powtarza.. nic nie trzeba dzielic..

w podobnym zadaniu moze byc wiecej sprawdzania.. i wtedy uwaga moze sie przydac..