Udowodnij, jeżeli liczby spełniają układ, to...

[enigm32]

Jakieś pomysły, jak rozwiązać poniższe zadanko? Z góry dziękuję:)

Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste x, y, z, gdzie x 0, spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+x)=(x^2-1)yz\\x^2=yz\end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ x^2 qslant 3}\)

[Qń]

Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste x, y, z, gdzie x 0, spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+x)=(x^2-1)yz\\x^2=yz\end{cases}}\)
to x^2 qslant 3

Kontrprzykład: \(\displaystyle{ x=1, y=z=-1}\).

A zadanie nie ma nic wspólnego z algebrą liniową.

Q.

[enigm32]

No dobrze, Można znaleźć kontrprzykład, ale to przecież chyba nie wystarczy do rozwiązania zadania. X takich że x^2 < 3 jest nieskończenie wiele, a tak pokazałbym tylko, że nie jest to prawdziwe dla x = 1 i jeszcze przy określonych y i z.

[Qń]

Można znaleźć kontrprzykład, ale to przecież chyba nie wystarczy do rozwiązania zadania.

Wystarczy. Kontrprzykład dowodzi, że teza, którą mamy do pokazania jest nieprawdziwa, nic więcej zatem nie trzeba robić.

Q.

[enigm32]

Teza tutaj to to, że x^2 geqslant 3
A x^2 z przedziałów (0;1) (1;3>? Nie wiemy, czy one nie spełniają układu, a mamy to udowodnić.

[Qń]

W zadaniu chodzi o pokazanie (dla dowolnych liczb rzeczywistych) prawdziwości implikacji:
jeśli trójka liczb rzeczywistych spełnia pewien układ równań, to kwadrat pierwszej z tych liczb jest nie mniejszy niż 3.
W kontrprzykładzie założenie jest spełnione (podana trójka spełnia układ równań), ale teza jest nieprawdziwa. Oznacza to dokładnie tyle, że powyższa implikacja nie jest zdaniem prawdziwym dla dowolnych liczb rzeczywistych. Ergo: nie da się pokazać, że jest prawdziwa. I koniec

Prościej chyba nie umiem tego wyjaśnić.

Q.

[enigm32]

Ale przeciez podana trójka: x=1, y=z=-1 nie spelnia tego układu. Podstawiajac do pierwszego równania mamy:
1(-1-1)=(1-1)(-1)(-1)
-2=0 - sprzeczność

[Qń]

Policz raz jeszcze :].

Q.

[enigm32]

O cholerka, dopiero teraz zauważyłem, że przepisałem układ z błędem. A teraz cały czas patrzę na swoja kartke i stąd te nieporozumienia.
Więc układ wygląda tak:


\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+z)=(x^2-1)yz\\x^2=yz\end{cases}}\)

Bardzo przepraszam za ten błąd, ale pewnie przy pisaniu kliknąłem przypadkowo x zamiast z, a potem juz nie czytałem tego postu, tylko liczyłęm podstawiajac do układu, który mam w zeszycie.
W tamtym prypadku, oczywiście wszystko by się zgadzało, teza nie byłaby prawdziwa. A co teraz? To jest trchę bardziej skomplikwoane chyba, bo juz chwilkę próbowałem to liczyć i nie mogłem wpaść.

[Gregorias]

A więc tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+z)=(x^{2}-1)x^{2}//* \frac{1}{x} \\x^{2}=yz\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (y+z)=(x^{2}-1)x// podnosimy \obie \strony \do \kwadratu \\x^{2}=yz\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (y+z)^{2}=(x^{2}-1)^{2}x^{2}//dzielimy\ górne \rownanie \przez \dolne\\x^{2}=yz\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{ (y+z)^{2}}{yz}=(x^{2}-1)^{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+2=(x^{2}-1)^{2} \end{cases}}\)
Skoro \(\displaystyle{ x^{2}=yz}\), to \(\displaystyle{ sgn(y)=sgn(z)}\), więc
\(\displaystyle{ 4 qslant \frac{y}{z}+\frac{z}{y}+2=(x^{2}-1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4 qslant(x^{2}-1)^{2}}\) z czego wychodzi nam nasz ukochany wniosek
\(\displaystyle{ x^{2} qslant 3}\)
Mam nadzieję, iż pomogłem oraz jak czegoś nie rozumiesz to mów śmiało.

Edit, u mnie wyświetla jakieś dziwne rzeczy, mógłbym prosić moda o pomoc w korekcie kodu?

[Wasilewski]

Nierówność ostatnia w drugą stronę.

[enigm32]

Dzięki, Gregorias. Spoko, wszystko kumam, tylko nie wiem, co tam napsiałes w linijce, w której jest jakiś błąd w formule, ale to się domyślam.

Ja również w między czasie rozwiązałem juz to zadanko, ale w inny sposób:
Z drugiego równania wyznaczamy y lub z i podstawiamy do pierwszego, porządkujemy i otrzymujemy kwadratowe równanie ze względu na zmienną z lub y:

x\(\displaystyle{ z^{2}}\) -(\(\displaystyle{ x^{4}}\) - \(\displaystyle{ x^{2}}\))z + \(\displaystyle{ x^{3}}\) = 0

Wystarczy teraz położyć warunek, że delta ma być większa lub równa od zera, by z lub tam y istniał:

(\(\displaystyle{ x^{4}}\) - \(\displaystyle{ x^{2}}\))^2 -4\(\displaystyle{ x^{4}}\) \(\displaystyle{ \geqslant}\) \(\displaystyle{ 0}\)

Po przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ x^{2}}\)\(\displaystyle{ -3}\)\(\displaystyle{ \geqslant}\)\(\displaystyle{ 0}\) ,c.n.d.